Questão 16. Um plano \pi passa pelo ponto A=(3,-1,8) e é paralelo a um plano gerado pelos vetores \vec{u}=(2,1,5) e \vec{v}=(1,1,1).
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi.
(b) Encontre uma vetor normal ao plano \pi, determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v} passando em A.

Passo 1

O enunciado diz que o plano \pi passa por A=(3,-1,8) e é paralelo ao plano gerado pelos vetores diretores \vec{u}=(2,1,5) e \vec{v}=(1,1,1). Para encontrar a equação de \pi precisamos de um vetor normal \vec{n} a \pi, que obtemos cruzando \vec{u} e \vec{v}, e então usar a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
\vec{n} \;=\;\vec{u}\times\vec{v} \;=\;\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & 1 & 5 \\[3pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \;=\; \bigl(1\cdot1-5\cdot1,\;-(2\cdot1-5\cdot1),\;2\cdot1-1\cdot1\bigr) \;=\;(-4,\,3,\,1).]

Passo 3

Usar a forma ponto-normal \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0:
(-4,3,1)\cdot\bigl(x-3,\;y+1,\;z-8\bigr)=0.
Desenvolvendo,
-4(x-3)+3(y+1)+1(z-8)=0 \;\Longrightarrow\; -4x+12+3y+3+z-8=0 \;\Longrightarrow\; -4x+3y+z+7=0.

Resposta

(a) Uma equação geral para \pi é
-4x+3y+z+7=0.
(b) Um vetor normal a \pi é \displaystyle(-4,\,3,\,1).

Exercícios relacionados