Questão 20. Obtenha um vetor normal a um plano \pi de equações paramétricas \left\{ \begin{array}{l} x=-1+2 \lambda-3 \mu \\\ y=1+\lambda+\mu \\\ z=\lambda \end{array} \right..

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi em forma paramétrica
\begin{cases} x=-1+2\lambda-3\mu,\\\ y=1+\lambda+\mu,\\\ z=\lambda, \end{cases}
ou seja,
\vec r(\lambda,\mu)=(-1,1,0)+\lambda\,(2,1,1)+\mu\,(-3,1,0).
O conteúdo é geometria vetorial: para achar um vetor normal ao plano, basta cruzar os dois vetores diretores.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores como \vec u=(2,1,1) e \vec v=(-3,1,0).
Eles estão contidos no plano e, por construção, um vetor normal deve ser perpendicular aos dois.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\vec n=\vec u\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&1&1\\\\ -3&1&0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo a respeito da primeira linha:
\vec n =\mathbf{i}(1\cdot0-1\cdot1) -\mathbf{j}(2\cdot0-1\cdot(-3)) +\mathbf{k}(2\cdot1-1\cdot(-3)) =(-1,-3,5).

Passo 4

O vetor \vec n=(-1,-3,5) é perpendicular a \vec u e \vec v, logo é normal ao plano \pi. Qualquer múltiplo escalar não nulo de \vec n também serve.

Resposta

(-1,-3,5)

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