3^{a} Questão: [16 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] Determine a série de Taylor de f(x)=5^{x} em torno de a=0.
(b) [6 pontos] Determine o raio da expansão obtida no Item (a).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Em (a): determinar a série de Taylor de f(x)=5^{x} em torno de a=0 (portanto série de Maclaurin).
  2. Em (b): determinar o raio de convergência da expansão obtida no item (a).
Informações dadas e relevantes: a função é f(x)=5^{x}. Não há mais condições. A expansão é em torno de a=0, ou seja, queremos a série de Taylor centrada em 0.

Passo 2

Relembrando a fórmula de Taylor (aula rápida): a série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a. No caso a=0 chamamos de série de Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Explico: cada termo usa a derivada de ordem n no ponto a, divide por n! e multiplica por (x-a)^n. Isso nos dá uma soma de potências que aproxima (ou representa) f.

Passo 3

Precisamos calcular as derivadas de f(x)=5^{x}. Uma observação útil (que uso sempre): 5^{x}=e^{x\ln 5}. Derivando exponenciais:
  • Se g(x)=e^{kx} então g'(x)=k e^{kx}, e em geral g^{(n)}(x)=k^{n} e^{kx}.
    Aplicando com k=\ln 5 temos, para f(x)=e^{x\ln5},
f^{(n)}(x)=(\ln 5)^{n} e^{x\ln5} = (\ln 5)^{n} 5^{x}.
Isso é uma fórmula geral: a cada derivada aparece um fator \ln 5.

Passo 4

Agora avalio as derivadas em x=0:
f^{(n)}(0)=(\ln 5)^{n} 5^{0}=(\ln 5)^{n}\cdot 1=(\ln 5)^{n}.
Portanto os coeficientes da série de Maclaurin são f^{(n)}(0)/n!=(\ln 5)^{n}/n!.

Passo 5

Substituo na fórmula de Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 5)^{n}}{n!}x^{n}.
Posso também escrever essa série como a expansão da exponencial composta:
5^{x}=e^{x\ln 5}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln 5)^{n}}{n!},
que é equivalente à forma anterior.

Passo 6

Agora precisamos determinar o raio de convergência R da série
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad\text{com}\quad a_{n}=\frac{(\ln 5)^{n}}{n!}.
Vou usar o teste da razão (dá um cálculo simples e direto): considerar
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|x\right|\cdot\frac{|(\ln 5)^{n+1}|/(n+1)!}{|(\ln 5)^{n}|/n!}.

Passo 7

Calculo a expressão dentro do limite:
\frac{|(\ln 5)^{n+1}|/(n+1)!}{|(\ln 5)^{n}|/n!} =\frac{|\ln 5|}{n+1}.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\frac{|\ln 5|}{n+1}=|x|\cdot|\ln 5|\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.

Passo 8

Como o limite L=0 para todo x\in\mathbb{R}, o teste da razão mostra que a série converge para todo x. Isso significa que o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Intuição rápida: o fator n! no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência (\ln 5)^{n}, então os coeficientes vão a zero rápido e a série converge para qualquer x.

Passo 9

Resumo final: a série de Taylor (Maclaurin) e o raio de convergência encontrado acima.

Resposta

\displaystyle 5^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 5)^{n}}{n!}\,x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln 5)^{n}}{n!}
\displaystyle R=\infty

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