3^{a} Questão: [16 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) [10 pontos] Determine a série de Taylor de f(x)=5^{x} em torno de a=0.
(b) [6 pontos] Determine o raio da expansão obtida no Item (a).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Em (a): determinar a série de Taylor de f(x)=5^{x} em torno de a=0 (portanto série de Maclaurin).
Em (b): determinar o raio de convergência da expansão obtida no item (a).
Informações dadas e relevantes: a função é f(x)=5^{x}. Não há mais condições. A expansão é em torno de a=0, ou seja, queremos a série de Taylor centrada em 0.
Passo 2
Relembrando a fórmula de Taylor (aula rápida): a série de Taylor de uma função f em torno de a é
Explico: cada termo usa a derivada de ordem n no ponto a, divide por n! e multiplica por (x-a)^n. Isso nos dá uma soma de potências que aproxima (ou representa) f.
Passo 3
Precisamos calcular as derivadas de f(x)=5^{x}. Uma observação útil (que uso sempre): 5^{x}=e^{x\ln 5}. Derivando exponenciais:
Se g(x)=e^{kx} então g'(x)=k e^{kx}, e em geral g^{(n)}(x)=k^{n} e^{kx}.
Aplicando com k=\ln 5 temos, para f(x)=e^{x\ln5},
Como o limite L=0 para todo x\in\mathbb{R}, o teste da razão mostra que a série converge para todo x. Isso significa que o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Intuição rápida: o fator n! no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência (\ln 5)^{n}, então os coeficientes vão a zero rápido e a série converge para qualquer x.
Passo 9
Resumo final: a série de Taylor (Maclaurin) e o raio de convergência encontrado acima.