4^{a} Questão: [44 pontos] Assinale V ou F:
(a) ( ) [11 pontos] Se \sum\left|a_{n}\right| é convergente, então \sum a_{n} é convergente;
(b) ( ) [11 pontos] A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}-1} é convergente para x=2;
(c) ( ) [11 pontos] Se \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-a^{n}\right) tem raio de convergência R, então as séries \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}(x-a)^{n-1} e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n+1}(x-a)^{n+1} também têm raio de convergência R.
(d) ( ) [11 pontos] A expansão de f(x)=\frac{1-e^{2 x}}{x}, em torno de zero, é - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n-1}}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para assinalar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cada uma das quatro afirmações a seguir. Informações dadas:
(a) Se \sum\left|a_{n}\right| é convergente, então \sum a_{n} é convergente.
(b) A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}-1} é convergente para x=2.
(c) Se \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-a\right)^{n} tem raio de convergência R, então as séries \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}(x-a)^{n-1} e \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n+1}(x-a)^{n+1} também têm raio de convergência R.
(d) A expansão de f(x)=\dfrac{1-e^{2 x}}{x}, em torno de zero, é -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n-1}}{n!}.

Passo 2

Analisando (a). Primeiro explico o conceito que aparece aí: definição de convergência absoluta.
Definição: a série \displaystyle\sum a_{n} é absolutamente convergente se a série \displaystyle\sum |a_{n}| é convergente. O que queremos mostrar (ou negar) é se a convergência de \sum|a_n| implica a convergência de \sum a_n.
Fato importante (teorema): toda série absolutamente convergente é convergente. Vou demonstrar isso de forma direta e elementar, porque isso costuma cair em prova.
Demonstração elementar (passo a passo):
  • Suponha que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| converge. Então, pelas propriedades de séries, suas somas parciais formam uma sequência de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para quaisquer m>n\ge N,
\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon.
  • Pela desigualdade triangular aplicada às somas dos a_k,
\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right|\le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k|<\varepsilon.
  • Isso mostra que as somas parciais de \displaystyle\sum a_n também formam uma sequência de Cauchy, logo \displaystyle\sum a_n converge (num espaço completo como os reais).
    Portanto a afirmativa (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b). Temos a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}-1}
e queremos saber se ela converge quando x=2. Substituindo x=2 obtém-se os termos gerais
b_n=\frac{2^{n}}{n^{2}-1},\qquad n\ge 2.
Para julgar a convergência dessa série numérica, uso o teste da raiz (root test), que é simples e direto aqui.
Lembrete do teste da raiz: para uma série \sum u_n com u_n\ge0, se
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n},
então a série converge se L<1, diverge se L>1, e o teste é inconclusivo se L=1.
Aplicando ao nosso b_n:
\sqrt[n]{b_n}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{2}-1}}=\frac{2}{(n^{2}-1)^{1/n}}.
Agora avalio o limite de (n^{2}-1)^{1/n}. Faço o logaritmo:
\ln\big((n^{2}-1)^{1/n}\big)=\frac{1}{n}\ln(n^{2}-1).
Como \ln(n^{2}-1) cresce como \ln n^{2}=2\ln n, temos \frac{1}{n}\ln(n^{2}-1)\to 0 quando n\to\infty. Portanto
(n^{2}-1)^{1/n}\to e^{0}=1.
Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\frac{2}{1}=2.
Como 2>1, o teste da raiz afirma que a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}-1} diverge. Portanto a afirmativa (b) é falsa.
Observação intuitiva: os termos crescem muito rápido (com potência 2^n), o denominador polinomial n^2 não compensa o crescimento exponencial.

Passo 4

Analisando (c). Aqui trata-se de séries de potência centradas em a:
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}
tem raio de convergência R. As séries dadas são a derivada termo a termo
\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}(x-a)^{n-1}
e uma primitiva termo a termo
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n+1}(x-a)^{n+1}.
A afirmação é que ambas têm o mesmo raio R. Vou justificar usando a fórmula de Cauchy-Hadamard para raio de convergência e uma observação simples sobre n^{1/n}.
Fato (Cauchy-Hadamard): o raio R da série \displaystyle\sum c_n (x-a)^n satisfaz
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
Agora torno as duas séries em termos de coeficientes:
  • Para a derivada os coeficientes são d_n=n c_n (onde escrevo a série como \sum_{n=0}^\infty d_n (x-a)^n com d_0=0 e d_n=n c_n para n\ge1). Então
\limsup_{n\to\infty} |d_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} (n^{1/n}|c_n|^{1/n}).
Mas é conhecido e fácil de verificar que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1,
portanto multiplicar por n^{1/n} não altera o valor do \limsup. Assim
\limsup_{n\to\infty} |d_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n},
o que implica que a série derivada tem o mesmo raio R.
  • Para a integral termo a termo os coeficientes são e_n=\dfrac{c_{n-1}}{n} se reindexarmos adequadamente, ou equivalentemente podemos ver que os coeficientes ficam como \dfrac{c_n}{n+1}. De forma análoga
\limsup_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{n+1}\right|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} \left((n+1)^{-1/n}|c_n|^{1/n}\right).
E novamente (n+1)^{-1/n}\to 1, logo o \limsup é o mesmo que para |c_n|^{1/n}. Assim a série integrada também tem raio R.
Conclusão: a afirmativa (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d). Quero expandir
f(x)=\frac{1-e^{2x}}{x}
em torno de x=0. Começo da expansão conhecida:
e^{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^{n}}{n!}=\;1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{n!}.
Subtraindo de 1:
1-e^{2x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{n!}.
Agora divido ambos os lados por x (para x\neq0; a série resultante dá uma expansão válida por séries de potência e o valor em x=0 é o limite):
\frac{1-e^{2x}}{x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n-1}}{n!}.
Isto coincide exatamente com a expressão indicada na afirmativa. Observação: a série de e^{2x} tem raio de convergência infinito, então a manipulação termo a termo (subtrair e dividir por x) é válida em todo ponto exceto possivelmente x=0, mas x=0 é um ponto de singularidade removível e o valor limite é consistente com a série (o termo n=1 -2, que é o limite quando x\to0). Portanto a afirmativa (d) é verdadeira.

Passo 6

Resumo final das conclusões obtidas, para facilitar a checagem antes de anotar as alternativas.
  • (a) Verdadeira: convergência absoluta implica convergência (prova pelo critério de Cauchy/triangular).
  • (b) Falsa: para x=2 os termos têm raiz 2 (maior que 1), logo diverge pelo teste da raiz.
  • (c) Verdadeira: derivação e integração termo a termo preservam o raio de convergência (uso de Cauchy-Hadamard e n^{1/n}\to1).
  • (d) Verdadeira: obtém-se diretamente da série de Taylor de e^{2x}.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) V
(d) V

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