Questão 16. Prove as expressões abaixo as quais são denominadas condições de ortogonalidades:
\int_{-L}^{L} \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} d x= \begin{cases}0, & \text { se } m \neq n ; \\\ L, & \text { se } m=n .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte condição de ortogonalidade:
\int_{-L}^{L} \cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx= \begin{cases} 0, & \text{se } m\neq n;\\[4pt] L, & \text{se } m=n. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é tomada no intervalo [-L,L].
  • As funções envolvidas são \cos\frac{m\pi x}{L} e \cos\frac{n\pi x}{L}.
  • Assume-se que m e n são inteiros positivos (isto é o caso usual em séries de Fourier; observe que se m=n=0 o valor seria \,2L\,, então a fórmula acima corresponde ao caso m,n\ge 1).]

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos (isso facilita a integração). A identidade é derivada assim: a partir de
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
e
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
somando as duas equações obtém-se
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Logo a identidade produto-para-soma é
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr).
Explicação didática: essa fórmula é útil porque integrar soma de cossenos é bem direto (integramos cada cosseno separadamente), enquanto integrar o produto direto seria mais trabalhoso.

Passo 3

Aplique a identidade com A=\dfrac{m\pi x}{L} e B=\dfrac{n\pi x}{L}. Assim
\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L} =\tfrac{1}{2}\left(\cos\!\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)+\cos\!\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\right).
Substituindo na integral e usando linearidade da integral:
\int_{-L}^{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\,dx +\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 4

Recorde: a primitiva de \cos(kx) é \dfrac{\sin(kx)}{k} quando k\neq 0. Ou seja,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{\sin(kx)}{k}+C.
No nosso caso os argumentos dos cossenos são k_1x e k_2x com
k_1=\frac{(m-n)\pi}{L},\qquad k_2=\frac{(m+n)\pi}{L}.
Avaliaremos as integrais por partes: para k\neq 0,
\int_{-L}^{L}\cos(kx)\,dx=\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{x=-L}^{x=L} =\frac{\sin(kL)-\sin(-kL)}{k}=\frac{2\sin(kL)}{k}.
Observação útil: \sin(kL) quando k=\dfrac{q\pi}{L} (com q inteiro) é \sin(q\pi)=0.

Passo 5

Caso m\neq n: então k_1=\dfrac{(m-n)\pi}{L}\neq 0 e k_2=\dfrac{(m+n)\pi}{L}\neq 0. Usando o resultado do passo anterior:
\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2\sin\!\left(\frac{(m-n)\pi L}{L}\right)}{\frac{(m-n)\pi}{L}} =\frac{2\sin\bigl((m-n)\pi\bigr)}{(m-n)\pi/L}=0,
pois \sin\bigl((m-n)\pi\bigr)=0 para inteiros m,n. Similarmente,
\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2\sin\bigl((m+n)\pi\bigr)}{(m+n)\pi/L}=0.
Portanto, quando m\neq n,
\int_{-L}^{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx =\tfrac{1}{2}(0+0)=0.

Passo 6

Caso m=n (com m\ge 1): então o termo com m-n fica zero no argumento do cosseno, isto é \cos\!\left(\dfrac{(m-n)\pi x}{L}\right)=\cos 0=1. Alternativamente, mais direto, usamos a identidade
\cos^2\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr).
Substituindo \theta=\dfrac{m\pi x}{L} obtemos
\cos^2\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)=\tfrac{1}{2}\left(1+\cos\!\left(\frac{2m\pi x}{L}\right)\right).
Integrando em [-L,L]:
\int_{-L}^{L}\cos^2\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}1\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{2m\pi x}{L}\right)\,dx.
O primeiro termo vale \tfrac{1}{2}\cdot(2L)=L. O segundo termo é zero porque, pela mesma razão do passo anterior,
\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{2m\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2\sin\bigl(2m\pi\bigr)}{2m\pi/L}=0.
Logo, quando m=n,
\int_{-L}^{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx=L.

Resposta

\int_{-L}^{L} \cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx= \begin{cases} 0, & \text{se } m\neq n;\\[4pt] L, & \text{se } m=n. \end{cases}]

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