As funções envolvidas são \cos\frac{m\pi x}{L} e \cos\frac{n\pi x}{L}.
Assume-se que m e n são inteiros positivos (isto é o caso usual em séries de Fourier; observe que se m=n=0 o valor seria \,2L\,, então a fórmula acima corresponde ao caso m,n\ge 1).]
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos (isso facilita a integração). A identidade é derivada assim: a partir de
Explicação didática: essa fórmula é útil porque integrar soma de cossenos é bem direto (integramos cada cosseno separadamente), enquanto integrar o produto direto seria mais trabalhoso.
Passo 3
Aplique a identidade com A=\dfrac{m\pi x}{L} e B=\dfrac{n\pi x}{L}. Assim
Caso m=n (com m\ge 1): então o termo com m-n fica zero no argumento do cosseno, isto é \cos\!\left(\dfrac{(m-n)\pi x}{L}\right)=\cos 0=1. Alternativamente, mais direto, usamos a identidade