Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
h(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função h(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}} e pede duas coisas:
  • Encontrar uma série de potências que represente h(x).
  • Determinar o intervalo (ou intervaloS) de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma razão envolvendo 1-x.
  • Não foi indicado centro diferente, então procuraremos uma série de potências centrada em 0 (isto é, da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
  • Não há imagem ou outra tabela; somente a expressão analítica.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar (sem resolver ainda): existe a série geométrica básica
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},
válida para |x|<1. Essa série é a base: se conseguirmos relacionar h(x) com \dfrac{1}{1-x} por operações que preservam séries (como derivação termo a termo dentro do raio de convergência), obteremos a série para h(x).
Explicando por que podemos derivar termo a termo: uma propriedade importante das séries de potências é que, dentro do raio de convergência, pode-se diferenciar (e integrar) a série termo a termo e a nova série terá o mesmo raio de convergência. Intuitivamente, isto acontece porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1), permitindo a diferenciação termo a termo. Assim, é permitido diferenciar \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} para obter uma série para \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right).

Passo 3

Derivando a série geométrica termo a termo: começar com
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d}{dx}\left((1-x)^{-1}\right)=( -1)\cdot(1-x)^{-2}\cdot(-1)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
  • Derivada do lado esquerdo (derivando termo a termo):
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}.
Portanto, para |x|<1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Ajustando índices para escrever a série na forma padrão \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
A série atual é \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}. Observe que o termo com n=0 é zero (pois 0\cdot x^{-1}=0), então podemos começar somando a partir de n=1 sem alterar a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Agora faça a troca de índice m=n-1. Quando n=1 temos m=0; quando n\to\infty temos m\to\infty. E n=m+1. Substituindo:
\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) x^{m}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Renomeando m de volta para n (notação usual), obtemos
\boxed{\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n},\qquad |x|<1.}

Passo 5

Verificação do raio / intervalo de convergência.
Podemos usar o teste da razão em \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}. Considere os coeficientes a_n=(n+1)x^{n}. O teste da razão para séries de potências leva ao raio R dado por
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\,|x| =|x|.
Para convergência precisamos desse limite ser menor que 1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1, e a série converge para |x|<1.
Agora verificar os extremos x=1 e x=-1:
  • Para x=1: a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty} (n+1), cujos termos não tendem a 0 (pelo contrário, crescem), logo diverge.
  • Para x=-1: a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(-1)^{n}. Os termos (n+1)(-1)^{n} não tendem a zero em módulo (o módulo (n+1) cresce), logo a série também diverge.
    Portanto a convergência é estritamente para -1<x<1.

Passo 6

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Comece da série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^n=\dfrac{1}{1-x} para |x|<1.
  • Diferencie termo a termo (válido dentro do raio de convergência) para obter \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}.
  • Faça a troca de índice m=n-1 para escrever na forma \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n.
  • Use o teste da razão (ou saiba que derivação mantém o raio) para concluir |x|<1. Verifique os extremos separadamente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n}, para |x|<1

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