Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral tan ^3(x) sec ^4(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3(x),sec^4(x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
e a substituição u=sec(x), pois du=sec(x)tan(x),dx.

Passo 2

Começamos reescrevendo
tan^3(x),sec^4(x) =l(tan^2(x)r),tan(x),sec^4(x) =(sec^2(x)-1),tan(x),sec^4(x)
Assim a integral vira
integral(sec^2(x)-1),tan(x),sec^4(x),dx =integrall(sec^6(x)-sec^4(x)r),tan(x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sec(x), du=sec(x)tan(x),dx ;Longrightarrow; tan(x),dx=dusec(x)=duu

Passo 4

Em termos de u, temos
sec^6(x),tan(x),dx = u^6,duu=u^5,du, sec^4(x),tan(x),dx = u^4,duu=u^3,du
Logo a integral original fica
integrall(u^5-u^3r),du

Passo 5

Integramos polinômio em u:
integral u^5,du=u^66, integral u^3,du=u^44
Portanto
integrall(u^5-u^3r),du =u^66-u^44+C

Passo 6

Voltando à variável x com u=sec(x), obtemos
sec^6(x)6-sec^4(x)4+C

Resposta

integral tan^3(x),sec^4(x),dx =sec^6(x)6 -sec^4(x)4 +C

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