Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raiz16 - x^2;dx
Esse tipo de integral, com raiza^2-x^2, é clássico para usar substituição trigonométrica, transformando em função de theta para facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sintheta,
logo
dx = 4costheta,dtheta
e
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta
Com isso o integrando vira produto de cossenos.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral raiz16 - x^2;dx = integral l(4costhetar),l(4costheta,dthetar) = 16integral cos^2theta,dtheta
Usamos a identidade
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
para obter:
16integral cos^2theta,dtheta =16integral 1 + cos(2theta)2,dtheta =8integral l(1 + cos(2theta)r),dtheta =8l(theta + tfrac12sin(2theta)r)+C
Portanto
integral raiz16 - x^2;dx =8theta +4sin(2theta)+C

Passo 4

Volta a variável x. Da substituição temos
theta = arcsin!l(tfracx4r),
e ainda
sin(2theta)=2sinthetacostheta =2l(tfracx4r)l(tfracraiz16-x^24r) =xraiz16-x^28
Logo
4sin(2theta) =4cdotxraiz16-x^28 =x2raiz16-x^2
Substituindo em 8theta+4sin(2theta) resulta
8arcsin!l(tfracx4r) +x2raiz16-x^2+C

Resposta

integral raiz16 - x^2;dx =x2raiz16 - x^2 +8arcsin!l(tfracx4r) +C

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