Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral 4 exp (3 x) d x(exp (2 x)+2)(exp (2 x)-2 exp (x)+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 4,exp(3x)l(exp(2x)+2r)l(exp(2x)-2exp(x)+1r),dx
O conteúdo principal aqui é usar a substituição para reduzir a integral a uma função racional em u, seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = exp(x), du = exp(x),dx Longrightarrow dx = duu
Então exp(2x)=u^2 e exp(3x)=u^3, e a integral vira
integral 4,u^3(u^2+2)l(u^2-2u+1r);duu =integral 4,u^2(u^2+2)(u-1)^2,du

Passo 3

Decompomos em frações parciais
4u^2(u-1)^2(u^2+2) =Au-1+B(u-1)^2+C,u+Du^2+2
Multiplicando ambos os lados por (u-1)^2(u^2+2) obtemos o polinômio
4u^2 = A(u-1)(u^2+2) + B(u^2+2) + (C,u+D)(u-1)^2

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em u^3,u^2,u,1 gera o sistema
A + C = 0, -,A + B -2C + D = 4, 2A + C -2D = 0, -2A +2B + D = 0
Resolvendo dá
A = tfrac169, B=tfrac43, C=-tfrac169, D=tfrac89

Passo 5

Substituindo na integral e integrando termo a termo,
integral 4u^2(u-1)^2(u^2+2),du =integrall[tfrac1691u-1+tfrac431(u-1)^2 -tfrac169uu^2+2+tfrac891u^2+2r]du
Cada parte dá
integralduu-1=lnlvert u-1rvert, integraldu(u-1)^2=-1u-1, integraluu^2+2du=tfrac12ln(u^2+2), integralduu^2+2=1raiz2arctan!l(tfrac uraiz2r)
Logo a primitiva é
169lnlvert u-1rvert -43(u-1) -89ln(u^2+2) +89raiz2arctan!l(tfrac uraiz2r) + C

Passo 6

Voltando a u=exp(x),
boxed integral 4e^3x(e^2x+2)(e^2x-2e^x+1),dx =169lnl(e^x-1r) -43,(e^x-1) -89lnl(e^2x+2r) +89raiz2arctan!l(tfrace^xraiz2r) + C

Resposta

169lnl(e^x-1r) -43,(e^x-1) -89lnl(e^2x+2r) +89raiz2arctan!l(tfrace^xraiz2r) + C

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