Questão 16. Sejam
e
duas funções.
Se
é sobrejetora, é verdade que
deve obrigatoriamente ser sobrejetora? E
? Demonstre sua resposta.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e
e afirma que a composição
é sobrejetora.
As perguntas que o enunciado faz são duas e claras:
As perguntas que o enunciado faz são duas e claras:
- Se
é sobrejetora, isso implica que é necessariamente sobrejetora? - Se
é sobrejetora, isso implica que é necessariamente sobrejetora?
Informações relevantes dadas:
- Sabemos que
é sobrejetora, ou seja, para todo elemento existe pelo menos um tal que . - As funções
e têm domínios e contradomínios respectivamente.
A partir daqui vou provar a resposta para a primeira pergunta e construir um contraexemplo para a segunda, explicando passo a passo os conceitos que uso.
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição de sobrejetora (em termos simples e rigorosos):
- Dizemos que uma função
é sobrejetora (ou “sobre”) se, para todo , existe tal que .
Em símbolos:
Também lembrar a definição de composição:
-
para todo .
Vou usar essas definições diretamente para responder às perguntas.
Passo 3
Provar que
deve ser sobrejetora quando
é sobrejetora.
Tomemos um elemento qualquer
. Como
é sobrejetora, por definição existe algum
tal que
Pelo significado da composição, isso significa
Agora escreva
. Então
(porque
mapeia em
) e temos
. Assim, para o elemento arbitrário
encontramos um
com
. Isso é exatamente a definição de
ser sobrejetora.
Logo, mostramos que
(Resumo intuitivo: toda saída
em
vem de algum
por
; o correspondente
é um antecessor em
de
por
.)
Passo 4
Agora investigar se
precisa ser sobrejetora quando
é sobrejetora.
Intuição:
sendo sobrejetora garante que a imagem de
, que é um subconjunto
, satisfaça
. Ou seja,
precisa apenas atingir um subconjunto
de
cujo
-imagem seja todo
. Isso não exige que
. Portanto
pode deixar elementos de
sem imagem e ainda assim
ser sobrejetora — desde que os pontos de
que
não atinge não sejam necessários para cobrir
via
.
Para tornar isso claro, é melhor dar um contraexemplo concreto.
Passo 5
Construir um contraexemplo explícito: vou definir conjuntos pequenos e funções fáceis de verificar.
Escolha
Defina
por
Note que a imagem de
é
, portanto
não é sobrejetora porque
não é atingido.
Defina
por
Observe que
é sobrejetora, pois tanto
quanto
têm pré-imagem em
(
,
).
Agora calcule a composição
:
Assim
, ou seja,
é sobrejetora.
Mas lembrando,
não é sobrejetora porque
nunca é atingido. Portanto aqui está um exemplo em que
é sobrejetora e
não é.
Passo 6
Concluir e generalizar a ideia para a prova/questão da prova:
-
A prova formal de que
é sobrejetora foi dada no Passo 3 e é curta: para cada existe com ; então satisfaz . Isso atende a definição de sobrejetividade de . -
O contraexemplo do Passo 5 mostra que
não precisa ser sobrejetora: basta que a imagem seja um subconjunto de que, após aplicação de , cubra todo . Em termos gerais, é possível que e ainda , então é sobrejetora enquanto não é.
Na hora da prova, se te perguntarem algo parecido, faça exatamente isso:
- Para afirmar que uma função é obrigatoriamente sobrejetora, comece com um
arbitrário e use a surjetividade de para achar um e transformar em um — é a prova direta. - Para a função que pode não ser sobrejetora, proponha um contraexemplo pequeno e verifique explicitamente que a composição é sobrejetora mas a função em questão não.
Resposta
g: sim.
f: não.
f: não.