Questão 16. Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z duas funções.
Se g \circ f é sobrejetora, é verdade que g deve obrigatoriamente ser sobrejetora? E f ? Demonstre sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f: X \to Y e g: Y \to Z e afirma que a composição g\circ f: X \to Z é sobrejetora.
As perguntas que o enunciado faz são duas e claras:
  1. Se g\circ f é sobrejetora, isso implica que g é necessariamente sobrejetora?
  2. Se g\circ f é sobrejetora, isso implica que f é necessariamente sobrejetora?
Informações relevantes dadas:
  • Sabemos que g\circ f é sobrejetora, ou seja, para todo elemento z\in Z existe pelo menos um x\in X tal que (g\circ f)(x)=z.
  • As funções f e g têm domínios e contradomínios X,Y,Z respectivamente.
A partir daqui vou provar a resposta para a primeira pergunta e construir um contraexemplo para a segunda, explicando passo a passo os conceitos que uso.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de sobrejetora (em termos simples e rigorosos):
  • Dizemos que uma função h:A\to B é sobrejetora (ou “sobre”) se, para todo b\in B, existe a\in A tal que h(a)=b.
    Em símbolos:
h\\ \text{é sobrejetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall b\in B,\\ \exists a\in A\\ \text{com}\\ h(a)=b.é
Também lembrar a definição de composição:
  • (g\circ f)(x)=g(f(x)) para todo x\in X.
Vou usar essas definições diretamente para responder às perguntas.

Passo 3

Provar que g deve ser sobrejetora quando g\circ f é sobrejetora.
Tomemos um elemento qualquer z\in Z. Como g\circ f é sobrejetora, por definição existe algum x\in X tal que
(g\circ f)(x)=z.
Pelo significado da composição, isso significa
g(f(x))=z.
Agora escreva y=f(x). Então y\in Y (porque f mapeia em Y) e temos g(y)=z. Assim, para o elemento arbitrário z\in Z encontramos um y\in Y com g(y)=z. Isso é exatamente a definição de g ser sobrejetora.
Logo, mostramos que
\text{se } g\circ f \text{ é sobrejetora, então } g \text{ é sobrejetora.}éãé
(Resumo intuitivo: toda saída z em Z vem de algum x por g\circ f; o correspondente y=f(x) é um antecessor em Y de z por g.)

Passo 4

Agora investigar se f precisa ser sobrejetora quando g\circ f é sobrejetora.
Intuição: g\circ f sendo sobrejetora garante que a imagem de f, que é um subconjunto S=f(X)\subseteq Y, satisfaça g(S)=Z. Ou seja, f precisa apenas atingir um subconjunto S de Y cujo g-imagem seja todo Z. Isso não exige que S=Y. Portanto f pode deixar elementos de Y sem imagem e ainda assim g\circ f ser sobrejetora — desde que os pontos de Y que f não atinge não sejam necessários para cobrir Z via g.
Para tornar isso claro, é melhor dar um contraexemplo concreto.

Passo 5

Construir um contraexemplo explícito: vou definir conjuntos pequenos e funções fáceis de verificar.
Escolha
X=\{1,2\},\qquad Y=\{a,b,c\},\qquad Z=\{0,1\}.
Defina f:X\to Y por
f(1)=a,\qquad f(2)=c.
Note que a imagem de f é f(X)=\{a,c\}, portanto f não é sobrejetora porque b\in Y não é atingido.
Defina g:Y\to Z por
g(a)=0,\qquad g\text{(c)}=1,\qquad g(b)=0.
Observe que g é sobrejetora, pois tanto 0 quanto 1 têm pré-imagem em Y ( g(a)=0, g\text{(c)}=1).
Agora calcule a composição g\circ f:
(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(a)=0,\qquad (g\circ f)(2)=g(f(2))=g\text{(c)}=1.
Assim (g\circ f)(X)=\{0,1\}=Z, ou seja, g\circ f é sobrejetora.
Mas lembrando, f não é sobrejetora porque b nunca é atingido. Portanto aqui está um exemplo em que g\circ f é sobrejetora e f não é.

Passo 6

Concluir e generalizar a ideia para a prova/questão da prova:
  • A prova formal de que g é sobrejetora foi dada no Passo 3 e é curta: para cada z\in Z existe x\in X com g(f(x))=z; então y=f(x)\in Y satisfaz g(y)=z. Isso atende a definição de sobrejetividade de g.
  • O contraexemplo do Passo 5 mostra que f não precisa ser sobrejetora: basta que a imagem f(X) seja um subconjunto de Y que, após aplicação de g, cubra todo Z. Em termos gerais, é possível que f(X)\subsetneq Y e ainda g(f(X))=Z, então g\circ f é sobrejetora enquanto f não é.
Na hora da prova, se te perguntarem algo parecido, faça exatamente isso:
  1. Para afirmar que uma função é obrigatoriamente sobrejetora, comece com um z\in Z arbitrário e use a surjetividade de g\circ f para achar um x e transformar em um y=f(x) — é a prova direta.
  2. Para a função que pode não ser sobrejetora, proponha um contraexemplo pequeno e verifique explicitamente que a composição é sobrejetora mas a função em questão não.

Resposta

g: sim.
f: não.

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