Questão 17. Prove que uma função
é bijetora se, e somente se, ela admite uma função inversa (isto é, se existe uma função
tal que
e
). Além disso, prove que tal inversa, caso exista, é única.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras para
:
- Mostrar que, se existe uma função
tal que e , então é bijetora; e reciprocamente, que se é bijetora então existe tal . - Mostrar que, se existir uma função
com essas propriedades, ela é única.
Informações dadas:
- Há uma função
. - Quer-se a existência (e unicidade) de
com e .
Passo 2
Vamos lembrar (de forma curta e clara) o que significam os termos e notações que vamos usar.
- Definição de identidade:
é a função identidade em dada por para todo . Analogamente para todo . - Composição de funções: se
e então . - Injetiva:
é injetiva se, sempre que , segue que . - Sobrejetiva:
é sobrejetiva se para todo existe tal que . - Bijetiva:
é bijetiva se é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Esses conceitos serão usados explicitamente nas provas a seguir.
Passo 3
Prova da direcção: se existe
com
e
, então
é bijetora.
-
Provar que
é injetiva.
Sejacom . Aplicando em ambos os lados obtemos Comotemos e . Logo . Portanto é injetiva. -
Provar que
é sobrejetiva.
Tome um. Considere . Então Assim para todoexiste com . Logo é sobrejetiva.
Com injetividade e sobrejetividade provadas,
é bijetora.
Passo 4
Prova da outra direcção: se
é bijetora então existe
com
e
.
-
Construção de
.
Comoé sobrejetiva, para cada existe pelo menos um tal que . Como é injetiva, esse é único. Portanto faz sentido definir Essa regra define uma função(bem definida porque o existe e é único). -
Verificar que
.
Para qualquer, por definição de temos . Portanto para todo , isto é . -
Verificar que
.
Para qualquerconsidere . Então, pela definição de , é o único elemento de cujo image por é . Mas é um elemento com , pela unicidade segue . Assim para todo , logo .
Assim, a inversa
existe sempre que
for bijetora.
Passo 5
Prova da unicidade: mostrar que se
e
são duas funções
ambas satisfazendo
,
e
,
, então
.
- Argumento com composição: para qualquer
, Explicando cada igualdade: dá ; portanto . Associatividade da composição permite reescrever . Como , obtemos . Então . Como vale para todo , conclui-se .
Portanto a função inversa, quando existe, é única.
Passo 6
Resumo intuitivo e exemplo rápido para fixar a ideia (sem alterar a prova formal).
- Intuição: uma inversa
“desfaz” o que faz: e . Para poder “desfazer” sempre é preciso que não perca informação (injetiva) e cubra todo o alvo (sobrejetiva). Essas duas propriedades juntas são exatamente bijetividade. - Exemplo simples:
dada por é bijetora. A inversa é . Se não fosse injetiva (por exemplo ) não haveria inversa bem definida; se não fosse sobrejetiva (por exemplo imagem só ) também não haveria inversa que atinja todos os .
Resposta
A função
é bijetora se, e somente se, existe uma função
tal que
e
. Além disso, essa inversa
, quando existe, é única.