Questão 17. Prove que uma função f: X \rightarrow Y é bijetora se, e somente se, ela admite uma função inversa (isto é, se existe uma função g: Y \rightarrow X tal que g \circ f=i d_{X} e f \circ g=i d_{Y} ). Além disso, prove que tal inversa, caso exista, é única.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras para f: X \to Y:
  • Mostrar que, se existe uma função g: Y \to X tal que g\circ f=\mathrm{id}_X e f\circ g=\mathrm{id}_Y, então f é bijetora; e reciprocamente, que se f é bijetora então existe tal g.
  • Mostrar que, se existir uma função g com essas propriedades, ela é única.
Informações dadas:
  • Há uma função f: X \to Y.
  • Quer-se a existência (e unicidade) de g: Y \to X com g\circ f=\mathrm{id}_X e f\circ g=\mathrm{id}_Y.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma curta e clara) o que significam os termos e notações que vamos usar.
  • Definição de identidade: \mathrm{id}_X é a função identidade em X dada por \mathrm{id}_X(x)=x para todo x\in X. Analogamente \mathrm{id}_Y(y)=y para todo y\in Y.
  • Composição de funções: se g:Y\to X e f:X\to Y então (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Injetiva: f é injetiva se, sempre que f(x_1)=f(x_2), segue que x_1=x_2.
  • Sobrejetiva: f é sobrejetiva se para todo y\in Y existe x\in X tal que f(x)=y.
  • Bijetiva: f é bijetiva se é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Esses conceitos serão usados explicitamente nas provas a seguir.

Passo 3

Prova da direcção: se existe g com g\circ f=\mathrm{id}_X e f\circ g=\mathrm{id}_Y, então f é bijetora.
  • Provar que f é injetiva.
    Seja x_1,x_2\in X com f(x_1)=f(x_2). Aplicando g em ambos os lados obtemos
    g(f(x_1))=g(f(x_2)).
    Como g\circ f=\mathrm{id}_X temos g(f(x_1))=x_1 e g(f(x_2))=x_2. Logo x_1=x_2. Portanto f é injetiva.
  • Provar que f é sobrejetiva.
    Tome um y\in Y. Considere x=g(y)\in X. Então
    f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=\mathrm{id}_Y(y)=y.
    Assim para todo y\in Y existe x=g(y) com f(x)=y. Logo f é sobrejetiva.
Com injetividade e sobrejetividade provadas, f é bijetora.

Passo 4

Prova da outra direcção: se f é bijetora então existe g: Y\to X com g\circ f=\mathrm{id}_X e f\circ g=\mathrm{id}_Y.
  • Construção de g.
    Como f é sobrejetiva, para cada y\in Y existe pelo menos um x\in X tal que f(x)=y. Como f é injetiva, esse x é único. Portanto faz sentido definir
    \text{para cada }y\in Y\text{, defina }g(y)=\text{único }x\in X\text{ tal que }f(x)=y.ú
    Essa regra define uma função g:Y\to X (bem definida porque o x existe e é único).
  • Verificar que f\circ g=\mathrm{id}_Y.
    Para qualquer y\in Y, por definição de g temos f(g(y))=y. Portanto (f\circ g)(y)=y para todo y, isto é f\circ g=\mathrm{id}_Y.
  • Verificar que g\circ f=\mathrm{id}_X.
    Para qualquer x\in X considere y=f(x). Então, pela definição de g, g(y) é o único elemento de X cujo image por f é y. Mas x é um elemento com f(x)=y, pela unicidade segue g(y)=x. Assim g(f(x))=x para todo x, logo g\circ f=\mathrm{id}_X.
Assim, a inversa g existe sempre que f for bijetora.

Passo 5

Prova da unicidade: mostrar que se g e h são duas funções Y\to X ambas satisfazendo g\circ f=\mathrm{id}_X, f\circ g=\mathrm{id}_Y e h\circ f=\mathrm{id}_X, f\circ h=\mathrm{id}_Y, então g=h.
  • Argumento com composição: para qualquer y\in Y, g(y)=g\big((f\circ h)(y)\big)=(g\circ f)(h(y))=(\mathrm{id}_X)(h(y))=h(y).Explicando cada igualdade: f\circ h=\mathrm{id}_Y (f\circ h)(y)=y; portanto g(y)=g((f\circ h)(y)). Associatividade da composição permite reescrever g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h. Como g\circ f=\mathrm{id}_X, obtemos (g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_X\circ h=h. Então g(y)=h(y). Como vale para todo y, conclui-se g=h.
Portanto a função inversa, quando existe, é única.

Passo 6

Resumo intuitivo e exemplo rápido para fixar a ideia (sem alterar a prova formal).
  • Intuição: uma inversa g “desfaz” o que f faz: g(f(x))=x e f(g(y))=y. Para poder “desfazer” sempre é preciso que f não perca informação (injetiva) e cubra todo o alvo (sobrejetiva). Essas duas propriedades juntas são exatamente bijetividade.
  • Exemplo simples: f:\{1,2\}\to\{a,b\} dada por f(1)=a,\\ f(2)=b é bijetora. A inversa é g(a)=1,\\ g(b)=2. Se f não fosse injetiva (por exemplo f(1)=a, f(2)=a) não haveria inversa bem definida; se não fosse sobrejetiva (por exemplo imagem só \{a\}) também não haveria inversa que atinja todos os y.

Resposta

A função f é bijetora se, e somente se, existe uma função g:Y\to X tal que g\circ f=\mathrm{id}_X e f\circ g=\mathrm{id}_Y. Além disso, essa inversa g, quando existe, é única.

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