Questão 19. Seja f: X \rightarrow Y uma função e S, T \subseteq Y. Prove as seguintes afirmações sobre imagens inversas:
Se S \subseteq T, então f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f: X \to Y.
  • Dois subconjuntos de Y: S e T.
  • A hipótese: S \subseteq T.
O que pede: provar que, sob essa hipótese, vale a inclusão
f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T).

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de imagem inversa (pré-imagem). Para qualquer U \subseteq Y define-se
f^{-1}(U) = \{\, x \in X \mid f(x) \in U \,\}.
Isto é: x pertence a f^{-1}(U) exatamente quando a imagem f(x) pertence a U.

Passo 3

Estratégia de prova (técnica padrão para provar inclusões): para mostrar que A \subseteq B costuma-se pegar um elemento arbitrário x \in A e deduzir que x \in B. Vou aplicar isso com A = f^{-1}(S) e B = f^{-1}(T).

Passo 4

Começo a prova propriamente dita. Seja x um elemento arbitrário tal que
x \in f^{-1}(S).
Pelo que disse na definição de pré-imagem, isso significa que
f(x) \in S.

Passo 5

Agora uso a hipótese S \subseteq T. Se f(x) \in S e S \subseteq T, então necessariamente
f(x) \in T.
(Explicando: pertença a S e o fato de todo elemento de S estar em T implicam pertença a T.)

Passo 6

Voltando à definição de pré-imagem: como f(x) \in T, temos que
x \in f^{-1}(T).

Passo 7

Concluímos: partindo de um x arbitrário em f^{-1}(S) chegamos a x \in f^{-1}(T). Portanto toda escolha de x\in f^{-1}(S) está em f^{-1}(T), isto é,
f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T).
Observação rápida e útil: essa prova não usa nada sobre injetividade ou sobrejetividade de f; a monotonicidade da pré-imagem (preservar inclusões) vale para qualquer função.

Passo 8

Um exemplo concreto para fixar a ideia: seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^2. Tome S=[1,4] e T=[0,4]. Aqui S\subseteq T. Então
f^{-1}(S) = [-2,-1]\cup[1,2], \qquad f^{-1}(T) = [-2,2],
e claramente f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T), conforme a prova.

Resposta

f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)

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