Questão 19. Seja
uma função e
. Prove as seguintes afirmações sobre imagens inversas:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
. - Dois subconjuntos de
: e . - A hipótese:
.
O que pede: provar que, sob essa hipótese, vale a inclusão
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição de imagem inversa (pré-imagem). Para qualquer
define-se
Isto é:
pertence a
exatamente quando a imagem
pertence a
.
Passo 3
Estratégia de prova (técnica padrão para provar inclusões): para mostrar que
costuma-se pegar um elemento arbitrário
e deduzir que
. Vou aplicar isso com
e
.
Passo 4
Começo a prova propriamente dita. Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo que disse na definição de pré-imagem, isso significa que
Passo 5
Agora uso a hipótese
. Se
e
, então necessariamente
(Explicando: pertença a
e o fato de todo elemento de
estar em
implicam pertença a
.)
Passo 6
Voltando à definição de pré-imagem: como
, temos que
Passo 7
Concluímos: partindo de um
arbitrário em
chegamos a
. Portanto toda escolha de
está em
, isto é,
Observação rápida e útil: essa prova não usa nada sobre injetividade ou sobrejetividade de
; a monotonicidade da pré-imagem (preservar inclusões) vale para qualquer função.
Passo 8
Um exemplo concreto para fixar a ideia: seja
dada por
. Tome
e
. Aqui
. Então
e claramente
, conforme a prova.