Questão 16: Sejam e
a) Os vetores e são LI ou LD ?
b) Os vetores e são LI ou LD?.
c) Qual a dimensão do subespaço gerado por e , ou seja, do conjunto das combinações de e .
d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por e
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede para decidir independência linear, calcular a dimensão do gerador e descrever geometricamente o subespaço que eles formam. Vamos usar resolução de sistemas lineares para testar independência e produto vetorial para achar a equação da forma geométrica (plano).
Passo 2
Para (a) testamos se existem
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem ). Portanto são linearmente dependentes.
Passo 3
Para (b) testamos
Das duas primeiras equações vem e daí . Só existe a solução trivial, ou seja e são linearmente independentes.
Passo 4
Para (c), como vimos que têm posto 2 (duas colunas independentes), a dimensão do subespaço que eles geram é
Passo 5
Para (d), um subespaço de dimensão 2 em R^3 é um plano que passa pela origem. Podemos dar a equação desse plano encontrando um vetor normal. Calculamos
n = v1times v2 = i & j & k 4 & 2 & -3 2 & 1 & -2 = (-1,2,0)
A equação do plano ncdot(x,y,z)=0 é
-1cdot x + 2cdot y + 0cdot z = 0 Long<=ftrightarrow x - 2y = 0
Então geometricamente o subespaço é o plano através da origem em R^3 definido por x - 2y = 0.
Resposta
a) v1,v2,v3 são linearmente dependentes.
b) v1,v2 são linearmente independentes.
c) dim = 2.
d) Plano passando pela origem com equação x - 2y = 0.