Questão 16: Sejam v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0)
a) Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD ?
b) Os vetores v1 e v2 são LI ou LD?.
c) Qual a dimensão do subespaço gerado por v1, v2 e v3, ou seja, do conjunto das combinações de v1, v2 e v3.
d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por v1, v2 e v3

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
e pede para decidir independência linear, calcular a dimensão do gerador e descrever geometricamente o subespaço que eles formam. Vamos usar resolução de sistemas lineares para testar independência e produto vetorial para achar a equação da forma geométrica (plano).

Passo 2

Para (a) testamos se existem
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem ). Portanto são linearmente dependentes.

Passo 3

Para (b) testamos
Das duas primeiras equações vem e daí . Só existe a solução trivial, ou seja e são linearmente independentes.

Passo 4

Para (c), como vimos que têm posto 2 (duas colunas independentes), a dimensão do subespaço que eles geram é

Passo 5

Para (d), um subespaço de dimensão 2 em R^3 é um plano que passa pela origem. Podemos dar a equação desse plano encontrando um vetor normal. Calculamos
n = v1times v2 = i & j & k 4 & 2 & -3 2 & 1 & -2 = (-1,2,0)
A equação do plano ncdot(x,y,z)=0 é
-1cdot x + 2cdot y + 0cdot z = 0 Long<=ftrightarrow x - 2y = 0
Então geometricamente o subespaço é o plano através da origem em R^3 definido por x - 2y = 0.

Resposta

a) v1,v2,v3 são linearmente dependentes.
b) v1,v2 são linearmente independentes.
c) dim = 2.
d) Plano passando pela origem com equação x - 2y = 0.

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