Questão 22: Mostre que o espaço
dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Passo 1
O enunciado diz que
é o conjunto de todos os polinômios reais de grau
, isto é,
e pede para mostrar que, com a soma usual de polinômios e a multiplicação usual por escalar,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Vamos lembrar os principais axiomas:
)
é grupo abeliano;
) a multiplicação por escalar satisfaz fechamento, identidade, associatividade e distributividades.
Passo 2
Definimos a soma de
e
por
Como cada
, a soma fecha em
. A comutatividade e a associatividade seguem da comutatividade e associatividade da soma em
coordenada a coordenada.
O polinômio nulo é
O polinômio nulo é
pois
para todo
. E o inverso aditivo de
é
dado por
porque
. Assim,
é um grupo abeliano.
Passo 3
Definimos a multiplicação por escalar
em
por
Como
, o produto fecha em
. Agora verificamos as propriedades:
) Identidade de escalar:
porque
.
) Associatividade de escalares:
pois
.
) Distributividade sobre soma de vetores:
Logo, todas as propriedades de multiplicação por escalar estão satisfeitas.
Resposta
Portanto,
, com a soma e a multiplicação por escalar usuais, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Logo,
é um espaço vetorial real.