Questão 22: Mostre que o espaço P3=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 mid a0, a1, a2, a3 in R dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado diz que P3 é o conjunto de todos os polinômios reais de grau <=3, isto é,
P3 = l,p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3mid a0,a1,a2,a3inRr,
e pede para mostrar que, com a soma usual de polinômios e a multiplicação usual por escalar, P3 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Vamos lembrar os principais axiomas:
1) (P3,+) é grupo abeliano;
2) a multiplicação por escalar satisfaz fechamento, identidade, associatividade e distributividades.

Passo 2

Definimos a soma de p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 e q(x)=b0+b1x+b2x^2+b3x^3 por
(p+q)(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+(a3+b3)x^3
Como cada ai+biinR, a soma fecha em P3. A comutatividade e a associatividade seguem da comutatividade e associatividade da soma em R coordenada a coordenada.
O polinômio nulo é
0(x)=0+0x+0x^2+0x^3,
pois (p+0)(x)=p(x) para todo p. E o inverso aditivo de p é -p dado por
(-p)(x)=(-a0)+(-a1)x+(-a2)x^2+(-a3)x^3,
porque (p+(-p))(x)=0(x). Assim, (P3,+) é um grupo abeliano.

Passo 3

Definimos a multiplicação por escalar cinR em p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 por
(ccdot p)(x)=(c,a0)+(c,a1)x+(c,a2)x^2+(c,a3)x^3
Como c,aiinR, o produto fecha em P3. Agora verificamos as propriedades:
1) Identidade de escalar: 1cdot p=p porque 1cdot ai=ai.
2) Associatividade de escalares: (cd)cdot p=ccdot(dcdot p) pois (cd)ai=c(d,ai).
3) Distributividade sobre soma de vetores:
ccdot(p+q)=ccdotl((ai+bi)x^ir)=l(c(ai+bi)r)x^i=(c,ai+c,bi)x^i=(ccdot p+ccdot q)(x)
4) Distributividade sobre soma de escalares:
(c+d)cdot p=((c+d)ai)x^i=(c,ai+d,ai)x^i=(ccdot p+dcdot p)(x)
Logo, todas as propriedades de multiplicação por escalar estão satisfeitas.

Resposta

Portanto, P3, com a soma e a multiplicação por escalar usuais, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Logo, P3 é um espaço vetorial real.

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