Questão 25.

Um eixo com diâmetro externo (D.E) \sim N(1,20 ; 0,0016) é inserido em um mancal comum de diâmetro interno, que é N(1,25: 0,0009). Determine a probabilidade de interferência.

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro externo do eixo é uma variável aleatória X\sim N(1,20;0,0016) e o diâmetro interno do mancal é Y\sim N(1,25;0,0009), assumindo independência. Queremos a probabilidade de interferência, ou seja
P(\text{eixo}>\text{mancal}) \;=\; P(X>Y).

Passo 2

Definimos
X\sim N\bigl(\mu_X=1,20,\;\sigma_X^2=0,0016\bigr),\quad Y\sim N\bigl(\mu_Y=1,25,\;\sigma_Y^2=0,0009\bigr).
Portanto \sigma_X=\sqrt{0,0016}=0,04 e \sigma_Y=\sqrt{0,0009}=0,03.

Passo 3

Para comparar X e Y usamos a diferença
Z = X - Y.
Como X e Y são independentes, Z é normal com
\mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 1,20 - 1,25 = -0,05,
\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 0,0016 + 0,0009 = 0,0025,
logo \sigma_Z=\sqrt{0,0025}=0,05.

Passo 4

A probabilidade de interferência é
P(X>Y) = P(Z>0).
Padronizando,
P(Z>0) = 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{0 - \mu_Z}{\sigma_Z}\Bigr) = 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{0 - (-0,05)}{0,05}\Bigr) = 1 - \Phi(1).
Da tabela normal padrão, \Phi(1)\approx0,8413.

Resposta

P(\text{interferência}) = 1 - 0,8413 = 0,1587.ê

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