Questão 16: Ar úmido é retirado de um ambiente a 25^{\circ} \mathrm{F} (temperatura de bulbo seco) e 19^{\circ} \mathrm{F} (temperatura termodinâmica de bulbo úmido). A taxa sensível de ganho de calor para o ambiente é de 9 kW . Uma taxa de ganho de umidade de 0,0015 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ocorre a partir dos ocupantes do ambiente. Essa umidade é assumida como vapor d’água saturado a 30^{\circ} \mathrm{C}. Ar úmido é introduzido no ambiente a uma temperatura de bulbo seco de 15^{\circ} \mathrm{C}. Encontre a temperatura termodinâmica de bulbo úmido e a vazão volumétrica do ar fornecido.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Ar retirado (condição do ambiente / exaustão): } T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C},\quad T_{wb,out}=19^\circ\mathrm{C}.\\\ &\text{Ganho sensível no ambiente: } \dot Q_{sens}=9\\ \mathrm{kW}.\\\ &\text{Ganho de umidade (vapor) dos ocupantes: } \dot m_{g}=0{,}0015\\ \mathrm{kg/s}.\\\ &\text{Essa umidade é vapor saturado a } 30^\circ\mathrm{C} \\ (\text{ou seja, a água entra como vapor a }30^\circ\mathrm{C}).\\\ &\text{Ar fornecido (entrada): } T_{db,in}=15^\circ\mathrm{C},\quad T_{wb,in}\\ \text{(desconhecido)}.\\\ &\text{Pressão atmosférica (assumo padrão): } P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}. \end{aligned}çããíéáãéã
O que é pedido:
  • Encontre a temperatura termodinâmica de bulbo úmido do ar fornecido ( T_{wb,in}).
  • Encontre a vazão volumétrica do ar fornecido ( \dot V), presumindo que a vazão que entra é igual à que sai (estado estacionário).

Passo 2

Plano físico e equações fundamentais (resumido; detalho fórmulas em seguida):
  • Balanço de massa de vapor no ambiente (estado estacionário): o vapor que entra com o ar mais o vapor gerado pelos ocupantes deve igualar o vapor que sai. Isso dá uma relação entre a vazão mássica de ar seco \dot m_a, as razões de mistura (humidade específica) de entrada w_{in} e de saída w_{out}.
  • Balanço de energia (entalpia) no ambiente: entalpia do ar que entra + entalpia do vapor gerado + ganho sensível = entalpia do ar que sai. Usamos a entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco.
    Essas duas equações juntas permitem resolver w_{in} e \dot m_a; com w_{in} e T_{db,in} obtemos T_{wb,in}; com \dot m_a e o volume específico do ar úmido obtemos a vazão volumétrica.
Agora apresento as fórmulas que vamos usar e os valores numéricos das constantes:
  • Entalpia do ar úmido por kg de ar seco (aproximação padrão):
h = c_{pa} T + w\bigl(2501 + c_{pv} T\bigr)
com c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, T em ^\circ\mathrm{C} e h em \mathrm{kJ/kg\,dry\,air}.
  • Razão de mistura (humidade específica) a partir da pressão parcial do vapor:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{P-p_v},
onde p_v e P estão em \mathrm{kPa}.
  • Relação entre p_v e temperatura de bulbo úmido (equação do bulbo úmido termodinâmico):
p_v = p_{ws}(T_{wb}) - \gamma (T_{db}-T_{wb}),
onde p_{ws}(T) é a pressão de saturação à temperatura T (kPa) e \gamma é a constante psicrométrica
\gamma = \frac{c_{pa} P}{0{,}622\,L},
com L (calor latente aproximadamente) L\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Fórmula prática para p_{ws}(T) (Tetens, boa precisão para nossa finalidade, T em ^\circ\mathrm{C}, p_{ws} em kPa):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\Bigr).
  • Volume específico do ar úmido por kg de ar seco (m³/kg dry air), expressão útil:
v = \frac{0{,}287055\,T_K\,(1+1{,}6078\,w)}{P_{kPa}},
onde T_K é a temperatura em kelvin e P_{kPa} a pressão em kPa.

Passo 3

Calcular a pressão de saturação à temperatura do bulbo úmido do ambiente T_{wb,out}=19^\circ\mathrm{C} usando Tetens:
p_{ws}(19)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\cdot 19}{19+237{,}3}\Bigr).
Cálculo numérico:
p_{ws}(19)\approx 0{,}61078\exp(1{,}280)\approx 2{,}197\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a constante psicrométrica \gamma:
\gamma=\frac{c_{pa}P}{0{,}622\,L}=\frac{1{,}005\cdot 101{,}325}{0{,}622\cdot 2501}\\ \mathrm{(kPa/^\circ C)}\approx 0{,}06550\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.

Passo 5

Encontrar a pressão parcial de vapor e a razão de mistura na saída (condição do ambiente) usando a fórmula do bulbo úmido:
p_{v,out}=p_{ws}(T_{wb,out})-\gamma\,(T_{db,out}-T_{wb,out}).
Numericamente:
p_{v,out}=2{,}197 - 0{,}06550\cdot(25-19)=2{,}197-0{,}393=1{,}804\\ \mathrm{kPa}.
Agora a razão de mistura de saída w_{out}:
w_{out}=\frac{0{,}622\,p_{v,out}}{P-p_{v,out}}=\frac{0{,}622\cdot 1{,}804}{101{,}325-1{,}804}\approx 0{,}01128\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 6

Escrever balanços (massa de vapor e energia) e combinar para eliminar \dot m_a.
Balanço de massa de vapor (estado estacionário):
\dot m_a w_{in} + \dot m_{g} = \dot m_a w_{out} \quad\Rightarrow\quad \dot m_a = \frac{\dot m_{g}}{w_{out}-w_{in}}.
Balanço de energia (entalpia, por unidade de tempo):
\dot m_a h_{in} + \dot m_{g} h_{v@30} + \dot Q_{sens} = \dot m_a h_{out},
onde h_{v@30} é a entalpia específica do vapor saturado a 30^\circ\mathrm{C}. Usando a fórmula de entalpia do vapor (aproximadamente 2501 + c_{pv}T):
h_{v@30}\approx 2501 + 1{,}86\cdot 30 = 2556{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
Substituindo \dot m_a do balanço de massa na equação de energia e dividindo por \dot m_g obtemos a relação (isso elimina \dot m_a):
h_{v@30} + \frac{\dot Q_{sens}}{\dot m_{g}} \;=\; \frac{h_{out}-h_{in}}{w_{out}-w_{in}}.
Essa é uma equação em que a única incógnita é w_{in}, pois h_{in} depende de w_{in} e T_{db,in} é conhecido.

Passo 7

Calcular os termos numéricos à esquerda e expressão de h_{out} e h_{in}.
Primeiro a razão entre ganho sensível e ganho de umidade:
\frac{\dot Q_{sens}}{\dot m_g}=\frac{9000\\ \mathrm{W}}{0{,}0015\\ \mathrm{kg/s}}=6{,}000{,}000\\ \mathrm{J/kg}=6000\\ \mathrm{kJ/kg}.
Assim
h_{v@30}+\frac{\dot Q_{sens}}{\dot m_g}=2556{,}8+6000=8556{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora as entalpias do ar úmido de entrada e saída:
\begin{aligned} h_{out}&=c_{pa}T_{out}+w_{out}\bigl(2501+c_{pv}T_{out}\bigr)\\\ &=1{,}005\cdot 25 + 0{,}01128\bigl(2501+1{,}86\cdot 25\bigr)\approx 53{,}851\\ \mathrm{kJ/kg}, \end{aligned}
\begin{aligned} h_{in}&=c_{pa}T_{in}+w_{in}\bigl(2501+c_{pv}T_{in}\bigr)\\\ &=1{,}005\cdot 15 + w_{in}\bigl(2501+1{,}86\cdot 15\bigr)\\\ &=15{,}075 + 2528{,}9\,w_{in}\\ \\ (\mathrm{kJ/kg}). \end{aligned}
Substituindo em \dfrac{h_{out}-h_{in}}{w_{out}-w_{in}}=8556{,}8 obtemos a equação para w_{in}:
\frac{53{,}851 - \bigl(15{,}075 + 2528{,}9\,w_{in}\bigr)}{0{,}01128 - w_{in}} = 8556{,}8.

Passo 8

Resolver a equação para w_{in}. Desenvolvendo:
\frac{38{,}776 - 2528{,}9\,w_{in}}{0{,}01128 - w_{in}} = 8556{,}8.
Multiplicando:
38{,}776 - 2528{,}9\,w_{in} = 8556{,}8\cdot 0{,}01128 - 8556{,}8\,w_{in}.
Calculando os números:
38{,}776 - 2528{,}9\,w_{in} = 96{,}5207 - 8556{,}8\,w_{in}.
Isolando w_{in}:
(8556{,}8-2528{,}9)\,w_{in} = 96{,}5207 - 38{,}776 \quad\Rightarrow\quad 6027{,}9\,w_{in}=57{,}7447.
Logo
w_{in}\approx \frac{57{,}7447}{6027{,}9}\approx 0{,}00958\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 9

Encontrar a temperatura termodinâmica de bulbo úmido de entrada T_{wb,in} a partir de w_{in} e T_{db,in}=15^\circ\mathrm{C}.
Primeiro calculo a pressão parcial de vapor na entrada:
p_{v,in}=\frac{P\,w_{in}}{0{,}622+w_{in}}=\frac{101{,}325\cdot 0{,}00958}{0{,}622+0{,}00958}\approx 1{,}537\\ \mathrm{kPa}.
Agora uso a equação do bulbo úmido:
p_{v,in}=p_{ws}(T_{wb,in})-\gamma\,(T_{db,in}-T_{wb,in}).
Precisamos achar T_{wb,in} que satisfaça isso. Fazendo iterações com a expressão de p_{ws}(T) (Tetens) encontramos:
  • tentativa T_{wb,in}=14^\circ\mathrm{C}: p_{ws}(14)\approx 1{,}598\\ \mathrm{kPa}; então p_{ws}-\gamma(15-14)=1{,}598-0{,}0655=1{,}533\\ \mathrm{kPa} (ligeiramente abaixo de 1{,}537).
  • ajustando para T_{wb,in}\approx 14{,}02^\circ\mathrm{C} obtemos p_{ws}-\gamma(15-14{,}02)\approx 1{,}537\\ \mathrm{kPa}, que coincide com p_{v,in}.
Portanto
T_{wb,in}\approx 14{,}02^\circ\mathrm{C}\approx 14{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Calcular a vazão mássica de ar seco \dot m_a usando o balanço de massa de vapor obtido em Passo 6:
\dot m_a=\frac{\dot m_g}{w_{out}-w_{in}}=\frac{0{,}0015}{0{,}01128-0{,}00958}=\frac{0{,}0015}{0{,}001701}\approx 0{,}8825\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 11

Calcular o volume específico do ar úmido na condição de entrada (usar T_{in}=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K} e w_{in}=0{,}00958):
v_{in}=\frac{0{,}287055\,T_K\,(1+1{,}6078\,w_{in})}{P_{kPa}}.
Numérico:
v_{in}\approx\frac{0{,}287055\cdot 288{,}15\cdot(1+1{,}6078\cdot 0{,}00958)}{101{,}325}\approx 0{,}829\\ \mathrm{m^3/kg}.
A vazão volumétrica do ar fornecido é
\dot V = \dot m_a\cdot v_{in}\approx 0{,}8825\cdot 0{,}829\approx 0{,}732\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

T_{wb,in}\approx 14{,}0^\circ\mathrm{C}
\dot V\approx 0{,}732\\ \mathrm{m^3/s}

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