Questão 9: Considere o ar atmosférico sujeito a seguinte situação: \varphi= 75 \%, 20 \%, \mathrm{p}=101,3, \mathrm{kP} a. Qual a temperatura de ponto de orvalho?

Passo 1

Dados fornecidos (interpreto que o enunciado quis dizer temperatura do ar igual a 20^\circ\mathrm{C}):
\varphi = 75\%,\qquad T = 20^\circ\mathrm{C},\qquad p = 101,3\\ \mathrm{kPa}.
Pergunta: qual é a temperatura de ponto de orvalho T_d do ar nessas condições?

Passo 2

O que é ponto de orvalho (explicação didática): o ponto de orvalho T_d é a temperatura à qual o ar deve ser resfriado (à pressão constante) para que a umidade presente comece a condensar. Em termos de pressões de vapor:
\varphi = \frac{e}{e_s(T)},
onde e é a pressão parcial do vapor d’água presente no ar (vapor real) e e_s(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T. Assim:
e = \varphi\cdot e_s(T).
Por definição do ponto de orvalho, e = e_s(T_d). Logo precisamos achar T_d tal que
e_s(T_d) = \varphi\cdot e_s(T).

Passo 3

Fórmula prática para e_s(T) (Magnus-Tetens), muito usada em provas por ser simples e precisa para temperaturas usuais:
e_s(T) = 6,112\\ \exp\!\left(\frac{a\,T}{b+T}\right)\quad\text{(em hPa)},
onde, para vapor sobre água, usamos geralmente a = 17,27 e b = 237,3^\circ\mathrm{C}. Aqui T está em ^\circ\mathrm{C} e \exp é a exponencial natural. Essa fórmula dá a pressão de saturação em hPa (1 hPa = 0,1 kPa). Não precisamos usar diretamente a pressão total p neste cálculo porque a relação entre \varphi, e_s(T) e T_d já determina T_d.

Passo 4

Isolando T_d: usando a fórmula de Magnus e as relações do Passo 2,
6,112\exp\!\left(\frac{a T_d}{b+T_d}\right)=\varphi\cdot 6,112\exp\!\left(\frac{a T}{b+T}\right).
Cancelando 6,112 e aplicando log natural,
\frac{a T_d}{b+T_d} = \ln\!\left(\frac{\varphi}{100}\right) + \frac{a T}{b+T}.
Chamando
\gamma = \ln\!\left(\frac{\varphi}{100}\right) + \frac{a T}{b+T},
temos a equação racional para T_d. Resolvendo para T_d (álgebra simples):
\frac{a T_d}{b+T_d} = \gamma
a T_d = \gamma(b+T_d) = \gamma b + \gamma T_d
T_d(a-\gamma) = \gamma b
T_d = \frac{b\,\gamma}{a-\gamma}.
Essa é a fórmula prática que vamos usar.

Passo 5

Agora calculamos numericamente passo a passo com os dados:
Primeiro calculemos \dfrac{a T}{b+T}.
b+T = 237,3 + 20 = 257,3
aT = 17,27\cdot 20 = 345,4
\frac{aT}{b+T} = \frac{345,4}{257,3} \approx 1,3426.

Passo 6

Calculamos \ln(\varphi/100):
\ln\!\left(\frac{\varphi}{100}\right)=\ln(0,75)\approx -0,28768.
Agora \gamma:
\gamma = -0,28768 + 1,3426 \approx 1,05492.

Passo 7

Aplicamos a fórmula para T_d:
b\,\gamma = 237,3\cdot 1,05492 \approx 250,337,
a-\gamma = 17,27 - 1,05492 \approx 16,21508,
T_d = \frac{250,337}{16,21508} \approx 15,4446^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o ponto de orvalho T_d é menor que a temperatura do ar T=20^\circ\mathrm{C}, o que faz sentido porque \varphi<100\%. O valor obtido é T_d\approx 15,44^\circ\mathrm{C}. Pequenas variações aparecem se usarmos constantes ligeiramente diferentes na fórmula de Magnus (por exemplo a=17,62,\\ b=243,12), mas o resultado fica muito próximo.

Resposta

T_d \approx 15,44^\circ\mathrm{C}

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