QUESTÃO 167

Em janeiro do ano passado, a direção de uma fábrica abriu uma creche para os filhos de seus funcionários, com 10 salas, cada uma com capacidade para atender 10 crianças a cada ano. As vagas são sorteadas entre os filhos dos funcionários inscritos, enquanto os não contemplados pelo sorteio formam uma lista de espera. No ano passado, a lista de espera teve 400 nomes e, neste ano, esse número cresceu 10 por cento.
A direção da fábrica realizou uma pesquisa e constatou que a lista de espera para o próximo ano terá a mesma quantidade de nomes da lista de espera deste ano. Decidiu, então, construir, ao longo desse ano, novas salas para a creche, também com capacidade de atendimento para 10 crianças cada, de modo que o número de nomes na lista de espera no próximo ano seja 25 por cento menor que o deste ano.
O número mínimo de salas que deverão ser construídas é
a. 10 .
b. 11 .
c. 13 .
d. 30 .
e. 33.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número mínimo de novas salas (cada sala atende 10 crianças por ano) que a fábrica deve construir para que, no próximo ano, a lista de espera seja 25\% menor que a lista de espera deste ano.
Informações fornecidas:
  • No ano passado havia 10 salas, cada uma com capacidade para 10 crianças por ano.
  • A lista de espera do ano passado teve 400 nomes.
  • Neste ano a lista de espera cresceu 10\%.
  • A pesquisa indicou que, se nada mudar, a lista de espera do próximo ano teria a mesma quantidade de nomes que a lista deste ano.
  • As novas salas terão a mesma capacidade: 10 crianças por sala.
  • Deseja-se que a lista de espera no próximo ano seja 25\% menor que a lista de espera deste ano.
    A partir disso devemos calcular quantas salas novas (mínimas) são necessárias.

Passo 2

Entender a relação entre demanda, vagas atendidas e lista de espera. É importante fixar o conceito:
  • Seja C a capacidade anual total (vagas disponíveis na creche).
  • Seja W o número de nomes na lista de espera em um dado ano.
  • Então o número total de interessados (demanda) naquele ano é
D = C + W.
Explicação: quem entra na creche ocupa as vagas C; os demais interessados ficam na lista W. O total de candidatos é a soma dos atendidos com os não atendidos.

Passo 3

Calcular a capacidade atual (antes de construir salas). Há 10 salas com 10 crianças cada, logo
C_0 = 10 \times 10 = 100.
Explicação: multiplicamos número de salas por capacidade por sala para obter a capacidade total.

Passo 4

Calcular a lista de espera deste ano. O ano passado foram 400 nomes e houve crescimento de 10\%. Portanto
W_1 = 400 \times 1,10 = 440.
Explicação do cálculo de percentual: crescer 10\% significa multiplicar por 1,10 (que é 1 + 0,10).

Passo 5

Determinar a demanda prevista para o próximo ano (antes de construir salas). A pesquisa indicou que a lista de espera do próximo ano seria igual à lista deste ano caso nada mudasse; isso significa que a demanda prevista para o próximo ano é igual à demanda deste ano. Usando a relação do Passo 2 com os valores atuais:
D = C_0 + W_1 = 100 + 440 = 540.
Interpretação: espera-se 540 candidatos no próximo ano se não houver alteração na oferta de vagas.

Passo 6

Calcular a lista de espera desejada no próximo ano: ela deve ser 25\% menor que a lista deste ano. Assim
W_2 = W_1 \times (1 - 0,25) = 440 \times 0,75 = 330.
Explicação: reduzir 25\% equivale a manter 75\% do valor original.

Passo 7

Determinar quantas crianças deverão ser atendidas no próximo ano para que a lista fique em W_2. Pelo balanço demanda = atendidos + lista,
A_2 = D - W_2 = 540 - 330 = 210.
Aqui A_2 é o número de vagas necessárias no próximo ano (capacidade total) para que, com a demanda D, sobrem W_2 nomes na fila.

Passo 8

Calcular quantas vagas adicionais são necessárias em relação à capacidade atual C_0:
\Delta C = A_2 - C_0 = 210 - 100 = 110.
Cada nova sala fornece 10 vagas, portanto o número de salas novas exigidas é
n = \frac{\Delta C}{10} = \frac{110}{10} = 11.
Observação sobre integridade: como n deu inteiro, não precisamos arredondar; se desse não inteiro deveríamos arredondar para cima porque não existe fração de sala prática.

Passo 9

Conclusão: o número mínimo de salas que devem ser construídas para alcançar a redução desejada de 25\% na lista de espera é 11.

Resposta

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