QUESTÃO 171

O gerente de uma fábrica pretende comparar a evolução das vendas de dois produtos similares (1 e 2). Para isso, passou a verificar o número de unidades vendidas de cada um desses produtos em cada mês. Os resultados dessa verificação, para os meses de abril a junho, são apresentados na tabela.
Descrição da tabela: Tabela que apresenta as quantidades de unidades vendidas em abril, em maio e em junho, dos produtos 1 e 2 .
Produto 1: 80 em abril, 90 em maio e 100 em junho.
Produto 2: 190 em abril, 170 em maio e 150 em junho. (Fim da descrição)
Produto
Vendas
em abril
(unidade)
Vendas
em maio
(unidade)
Vendas
em junho
(unidade)
80 90 100
190 170 150
O gerente estava decidido a cessar a produção do produto 2 no mês seguinte àquele em que as vendas do produto 1 superassem as do produto 2 .
Suponha que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos 1 e 2 se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela.
Em qual mês o produto 2 parou de ser produzido?
a. Junho.
b. Julho.
c. Agosto.
d. Setembro.
e. Outubro.

Passo 1

O enunciado dá os números de unidades vendidas nos meses de abril, maio e junho para dois produtos e pede em qual mês o produto 2 deixou de ser produzido, sabendo que o gerente cessará a produção do produto 2 no mês seguinte ao mês em que as vendas do produto 1 superarem as do produto 2.
Dados que peguei da tabela:
Produto 1: em abril \,=80, em maio \,=90, em junho \,=100.
Produto 2: em abril \,=190, em maio \,=170, em junho \,=150.
Pressuposto do enunciado: a variação mês a mês se manteve constante como no período dado.
Pergunta clara: em qual mês a produção do produto 2 foi cessada?

Passo 2

Calcular a variação mensal (diferença de um mês para o próximo) observada em cada produto, usando os dados da tabela. Explico: a variação mensal é simplesmente a diferença entre vendas do mês seguinte e do mês atual.
Para o produto 1: \,90-80=10 e \,100-90=10. Logo a variação mensal é constante e igual a \,+10 unidades por mês.
Para o produto 2: \,170-190=-20 e \,150-170=-20. Logo a variação mensal é constante e igual a -20 unidades por mês.
Comentário didático: quando as variações são constantes mês a mês, podemos modelar as vendas por uma progressão aritmética (uma reta no tempo).

Passo 3

Modelar as vendas como funções lineares do número de meses após abril. Defino a variável: seja \,k o número de meses após abril (ou seja, k=0 corresponde a abril, k=1 a maio, k=2 a junho, etc.).
As fórmulas ficam:
S_{1}(k)=80+10k
S_{2}(k)=190-20k
Aqui \,S_{1}(k) é o número de unidades vendidas do produto 1 no mês com índice k e \,S_{2}(k) é análogo para o produto 2. Essas fórmulas vêm de “valor inicial + variação \times número de passos”.

Passo 4

Determinar a condição em que as vendas do produto 1 superam as do produto 2, ou seja resolver a desigualdade \,S_{1}(k)>S_{2}(k). Substituindo as fórmulas:
80+10k>190-20k
Agora resolvo passo a passo: somo 20k em ambos os lados:
80+10k+20k>190
80+30k>190
Subtraio 80 dos dois lados:
30k>110
Divido por 30:
k>\frac{110}{30}=\frac{11}{3}\approx3{,}666\ldots
Conclusão intercalar: a desigualdade é satisfeita para valores de k maiores que \frac{11}{3}. Como k deve ser inteiro (meses inteiros), o menor k inteiro que satisfaz é k=4.

Passo 5

Interpretar k=4 em meses do calendário. Lembrete: k=0 é abril. Logo:
\,k=1 é maio, \,k=2 é junho, \,k=3 é julho, \,k=4 é agosto.
Verificação numérica (sempre bom checar):
S_{1}(3)=80+10\cdot3=110,\qquad S_{2}(3)=190-20\cdot3=130
Portanto em julho ( k=3) ainda temos 110<130 (produto 1 não supera).
S_{1}(4)=80+10\cdot4=120,\qquad S_{2}(4)=190-20\cdot4=110
Em agosto ( k=4) temos 120>110: aí sim o produto 1 passa a vender mais que o produto 2.

Passo 6

O enunciado diz que o gerente cessará a produção do produto 2 no mês seguinte ao mês em que o produto 1 superar o produto 2. Visto que a ultrapassagem ocorreu em agosto, a produção do produto 2 foi cessada no mês seguinte a agosto.

Resposta

Setembro.

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