QUESTÃO 166
A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.
No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes.
Considere 3 como aproximação para pi.
Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?
a. 50
b. 60
c. 80
d. 140
e. 150
a. 50
b. 60
c. 80
d. 140
e. 150
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?”
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Número de moradores:
. - Consumo médio atual por morador:
litros por dia. - O reservatório tem formato de cilindro circular reto com raio da base:
metros. - Após os primeiros
dias houve gasto extra; ao final desses dias o nível de água no reservatório é metro (essa informação está no enunciado e é usada). - Aproximação sugerida:
. - Precisamos garantir que, nos próximos
dias, o volume de água disponível dê conta do consumo total da vila. - Converteremos volumes em metros cúbicos para litros usando a equivalência
.
Passo 2
Calcular a área da base do cilindro. A fórmula da área da base (círculo) é
onde
é o raio. Aqui
e
. Então
Explicação curta: usamos a fórmula do círculo
; substituímos os valores e multiplicamos.
Passo 3
Calcular o volume de água presente quando o nível é
metro. Volume do cilindro é
Substituindo
e a altura (nível)
,
Comentário:
vezes
dá
porque
e
, soma
.
Passo 4
Converter o volume de metros cúbicos para litros. Usando
,
Portanto a água disponível para os próximos
dias é
litros.
Passo 5
Modelar o consumo diário com economia. Seja
a economia média por morador por dia (em litros). Então o consumo por morador por dia após economia será
Logo o consumo total da vila por dia será
Em
dias o consumo total será
Queremos que esse total não exceda o volume disponível
. Assim montamos a desigualdade.
Passo 6
Montar e resolver a desigualdade:
Calcular
:
Dividindo ambos os lados por
(positivo, então desigualdade mantém o sentido):
Calcular a divisão:
. Então
Isolando
:
Interpretação: cada morador precisa economizar, no mínimo,
litros por dia para que o reservatório dure os
dias.
Passo 7
Verificação prática (checagem rápida):
- Se
, consumo por morador = L/dia. Consumo diário total = L/dia. Em dias dá L, exatamente o disponível — OK, não fica sem água. - Se economizarem menos, por exemplo
, consumo diário total = L/dia → em dias L > L → faltaria água. Portanto L/dia é realmente o mínimo.