QUESTÃO 166

A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.
No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes.
Considere 3 como aproximação para pi.
Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?
a. 50
b. 60
c. 80
d. 140
e. 150

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?”
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Número de moradores: \;75.
  • Consumo médio atual por morador: \;200 litros por dia.
  • O reservatório tem formato de cilindro circular reto com raio da base: \;5 metros.
  • Após os primeiros 20 dias houve gasto extra; ao final desses 20 dias o nível de água no reservatório é \;1{,}5 metro (essa informação está no enunciado e é usada).
  • Aproximação sugerida: \pi=3.
  • Precisamos garantir que, nos próximos 10 dias, o volume de água disponível dê conta do consumo total da vila.
  • Converteremos volumes em metros cúbicos para litros usando a equivalência \;1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L}.

Passo 2

Calcular a área da base do cilindro. A fórmula da área da base (círculo) é
\text{Área da base} = \pi r^2,Á
onde r é o raio. Aqui r=\;5 e \pi=\;3. Então
\text{Área da base} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\\ \text{m}^2.Á
Explicação curta: usamos a fórmula do círculo \pi r^2; substituímos os valores e multiplicamos.

Passo 3

Calcular o volume de água presente quando o nível é \;1{,}5 metro. Volume do cilindro é
\text{Volume} = \text{Área da base} \times \text{altura}.Á
Substituindo \text{Área da base}=75\\ \text{m}^2Á e a altura (nível) =1{,}5\\ \text{m},
\text{Volume} = 75 \times 1{,}5 = 112{,}5\\ \text{m}^3.
Comentário: 75 vezes 1{,}5 112{,}5 porque 75\times 1 =75 e 75\times 0{,}5 =37{,}5, soma 112{,}5.

Passo 4

Converter o volume de metros cúbicos para litros. Usando 1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L},
112{,}5\\ \text{m}^3 = 112{,}5 \times 1000\\ \text{L} = 112{,}500\\ \text{L}.
Portanto a água disponível para os próximos 10 dias é \;112{,}500 litros.

Passo 5

Modelar o consumo diário com economia. Seja \;s a economia média por morador por dia (em litros). Então o consumo por morador por dia após economia será
200 - s\\ \text{(litros/dia)}.
Logo o consumo total da vila por dia será
75 \cdot (200 - s)\\ \text{(litros/dia)}.
Em 10 dias o consumo total será
10 \cdot 75 \cdot (200 - s).
Queremos que esse total não exceda o volume disponível \;112{,}500\\ \text{L}. Assim montamos a desigualdade.

Passo 6

Montar e resolver a desigualdade:
10 \cdot 75 \cdot (200 - s) \le 112{,}500.
Calcular 10\cdot 75:
750 \cdot (200 - s) \le 112{,}500.
Dividindo ambos os lados por 750 (positivo, então desigualdade mantém o sentido):
200 - s \le \frac{112{,}500}{750}.
Calcular a divisão: \frac{112{,}500}{750}=150. Então
200 - s \le 150.
Isolando s:
- s \le 150 - 200 = -50
s \ge 50.
Interpretação: cada morador precisa economizar, no mínimo, \;50 litros por dia para que o reservatório dure os 10 dias.

Passo 7

Verificação prática (checagem rápida):
  • Se s=50, consumo por morador = 200-50=150 L/dia. Consumo diário total = 75\cdot 150 = 11{,}250 L/dia. Em 10 dias dá 112{,}500 L, exatamente o disponível — OK, não fica sem água.
  • Se economizarem menos, por exemplo s=40, consumo diário total = 75\cdot 160 = 12{,}000 L/dia → em 10 dias 120{,}000 L > 112{,}500 L → faltaria água. Portanto 50 L/dia é realmente o mínimo.

Resposta

\;50 litros por dia.

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