Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=\frac{4 x-2 y^{2}}{4 x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
z(x,y) = 4x - 2y^24,x,y
O conteúdo envolvido é: simplificação de função de duas variáveis, derivadas parciais de primeira ordem e depois aplicação de novíssima derivação para obter as segundas parciais.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, simplificamos z:
z = 4x4xy ;-;2y^24xy = 1y ;-;y2x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
A derivada de tfrac1y em relação a x vale zero, e a de -tfracy2x em relação a x é
zx = partialpartial xl(-tfracy2xr) = -y cdot l(-tfrac12x^2r) = y2x^2
Em relação a y, temos
zy = partialpartial yl(tfrac1yr) + partialpartial yl(-tfracy2xr) = -1y^2 - 12x

Passo 4

Agora derivamos novamente para obter as segundas parciais.
  1. zxx = partialpartial xl(y2x^2r) = ycdotl(-tfrac22x^3r) = -yx^3
  2. zxy = partialpartial yl(y2x^2r) = 12x^2
  3. Pelas condições de continuidade das derivadas de segunda ordem, zyx=zxy.
  4. zyy = partialpartial yl(-1y^2-12xr) = 2,1y^3

Resposta

zxx = -yx^3, zxy = zyx = 12x^2, zyy = 2y^3

Exercícios relacionados