Questão 20. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que dá uma volta no círculo
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de força
quando uma partícula dá uma volta completa no círculo
no sentido anti-horário.
Informações dadas:
- O campo vetorial é
com e . - A curva
é o círculo , fechado, orientado no sentido anti-horário. - O que se pede: o trabalho
realizado por ao longo de .
Passo 2
Definição e expressão do trabalho como integral de linha.
O trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma curva fechada
é dado por
Aqui
significa que em cada ponto da curva se toma o produto escalar entre
e o vetor tangente
e integra-se ao longo de
.
Passo 3
Escolha do método de cálculo: parâmetrização direta ou Teorema de Green.
Opções naturais:
- Fazer a parámetrização do círculo e calcular diretamente
(método direto). - Usar o Teorema de Green para converter a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região
interior ao círculo (método geralmente mais curto e elegante).
Vou usar o Teorema de Green porque a curva é fechada e simples (um círculo) e as componentes
e
têm derivadas parciais contínuas na região interior, então as hipóteses do teorema são satisfeitas — isso facilita muito a conta. Depois eu faço um cálculo direto por parámetrização como verificação, já que é curto e confirmador.
Passo 4
Enunciado do Teorema de Green e verificação das hipóteses.
Teorema de Green (caso planar simples): se
é uma curva fechada positiva (anti-horário) que delimita uma região regular
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Verificação das hipóteses:
-
é o círculo de raio , fechado e simples; a região é o disco interior. -
e têm derivadas parciais contínuas em toda . Logo o teorema pode ser aplicado.
Passo 5
Cálculo do integrando do Teorema de Green.
Calcular as derivadas parciais:
Portanto o integrando é
Assim, pelo Teorema de Green,
onde
é o disco de raio
centrado na origem.
Passo 6
Avaliação da integral dupla
usando simetria (explicação didática).
Observação por simetria: o disco
é simétrico em relação ao eixo
. Para cada ponto
existe o ponto
. A função
é ímpar em relação à reflexão
, ou seja
. Assim as contribuições dos pares
e
se anulam, e a integral sobre todo o disco é zero. Portanto
Se quiser ver de forma explícita em coordenadas polares: usar
. Então
Calcular a integral em
:
Então
E
, portanto o resultado é
. Isso confirma a conclusão por simetria.
Passo 7
Verificação por parámetrização direta (checagem alternativa, também didática).
Parâmetrizar o círculo de raio
no sentido anti-horário por
Então
Compute
:
Somando,
Logo a integral ao longo de
é
Isto converge com o resultado obtido via Teorema de Green.