Questão 20. Determine o trabalho realizado pelo campo de força \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y)=x^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+x y \overrightarrow{\boldsymbol{j}} sobre uma partícula que dá uma volta no círculo x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de força \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y)=x^{2}\,\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+x y\,\overrightarrow{\boldsymbol{j}} quando uma partícula dá uma volta completa no círculo x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário.
Informações dadas:
  • O campo vetorial é \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=x y.
  • A curva C é o círculo \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=4\}, fechado, orientado no sentido anti-horário.
  • O que se pede: o trabalho W realizado por \overrightarrow{\boldsymbol{F}} ao longo de C.

Passo 2

Definição e expressão do trabalho como integral de linha.
O trabalho realizado por um campo de força \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(P,Q) ao longo de uma curva fechada C é dado por
W=\oint_{C}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
Aqui P\,dx+Q\,dy significa que em cada ponto da curva se toma o produto escalar entre \overrightarrow{\boldsymbol{F}} e o vetor tangente d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(dx,dy) e integra-se ao longo de C.

Passo 3

Escolha do método de cálculo: parâmetrização direta ou Teorema de Green.
Opções naturais:
  • Fazer a parámetrização do círculo e calcular diretamente \oint_{C}P\,dx+Q\,dy (método direto).
  • Usar o Teorema de Green para converter a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região D interior ao círculo (método geralmente mais curto e elegante).
Vou usar o Teorema de Green porque a curva é fechada e simples (um círculo) e as componentes P e Q têm derivadas parciais contínuas na região interior, então as hipóteses do teorema são satisfeitas — isso facilita muito a conta. Depois eu faço um cálculo direto por parámetrização como verificação, já que é curto e confirmador.

Passo 4

Enunciado do Teorema de Green e verificação das hipóteses.
Teorema de Green (caso planar simples): se C é uma curva fechada positiva (anti-horário) que delimita uma região regular D e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Verificação das hipóteses:
  • C é o círculo de raio 2, fechado e simples; a região D é o disco interior.
  • P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=x y têm derivadas parciais contínuas em toda \mathbb{R}^{2}. Logo o teorema pode ser aplicado.

Passo 5

Cálculo do integrando do Teorema de Green.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y-0=y.
Assim, pelo Teorema de Green,
W=\iint_{D} y\,dA,
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 6

Avaliação da integral dupla \iint_{D} y\,dA usando simetria (explicação didática).
Observação por simetria: o disco D é simétrico em relação ao eixo x. Para cada ponto (x,y)\in D existe o ponto (x,-y)\in D. A função y é ímpar em relação à reflexão y\mapsto -y, ou seja y+( -y)=0. Assim as contribuições dos pares (x,y) e (x,-y) se anulam, e a integral sobre todo o disco é zero. Portanto
\iint_{D} y\,dA=0.
Se quiser ver de forma explícita em coordenadas polares: usar x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{D} y\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right)d\theta.
Calcular a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
Então
\iint_{D} y\,dA=\frac{8}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
E \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, portanto o resultado é 0. Isso confirma a conclusão por simetria.

Passo 7

Verificação por parámetrização direta (checagem alternativa, também didática).
Parâmetrizar o círculo de raio 2 no sentido anti-horário por
x( t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-2\sin t\,dt,\qquad dy=2\cos t\,dt.
Compute P\,dx+Q\,dy:
P\,dx=x^{2}dx=(2\cos t)^{2}(-2\sin t\,dt)=-8\cos^{2}t\sin t\,dt,
Q\,dy=(x y)\,dy=(2\cos t)(2\sin t)(2\cos t\,dt)=8\cos^{2}t\sin t\,dt.
Somando,
P\,dx+Q\,dy= -8\cos^{2}t\sin t\,dt + 8\cos^{2}t\sin t\,dt = 0\cdot dt.
Logo a integral ao longo de C é
W=\int_{0}^{2\pi}0\,dt=0.
Isto converge com o resultado obtido via Teorema de Green.

Resposta

0

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