Questão 17. Determine se os subconjuntos do plano dados abaixo são ou não: aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Esboçá-los. C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1<x^{2}+y^{2}<4\right\};
Passo 1
O enunciado pede para determinar, para o conjunto
C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \;;\; 1<x^2+y^2<4\},
se ele é aberto, se é conexo e se é simplesmente conexo. Também pede que se esboce o conjunto.
Informações fornecidas:
O conjunto é definido por uma desigualdade envolvendo x^2+y^2.
As constantes envolvidas são 1 e 4.
Não há outros dados adicionais.
As perguntas a responder são, portanto:
C é aberto?
C é conexo?
C é simplesmente conexo?
Fazer um esboço (desenho) do conjunto.
Passo 2
Interpretação geométrica simples e útil: para um ponto (x,y) no plano, defina o raio polar
r=\sqrt{x^2+y^2}.
A condição 1<x^2+y^2<4 equivale a
1<r^2<4 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<r<2.
Ou seja, C é o conjunto de pontos cuja distância ao origem está estritamente entre \,1 e \,2. Geometricamente é uma coroa circular (um anel) centrado na origem, com círculo interno de raio 1 e círculo externo de raio 2, ambos excluídos.
Passo 3
Provar que C é aberto.
Estratégia: pegar um ponto qualquer p=(x_0,y_0)\in C, mostrar que existe uma bola aberta centrada em p inteiramente contida em C.
Seja p\in C e r_0=\sqrt{x_0^2+y_0^2}. Sabemos que 1<r_0<2. Defina
\varepsilon=\min\{\,r_0-1,\;2-r_0\,\}.
Observe que \varepsilon>0 porque r_0 está estritamente entre 1 e 2.
Agora tome qualquer ponto q tal que \|q-p\|<\varepsilon (onde \|\cdot\| é a norma euclidiana). Pela desigualdade triangular reversa vale
\big|\|q\|-\|p\|\big|\le \|q-p\|<\varepsilon.
Isto implica
r_0-\varepsilon<\|q\|<r_0+\varepsilon.
Pelo modo como escolhemos \varepsilon temos r_0-\varepsilon\ge 1 e r_0+\varepsilon\le 2. Mais precisamente, como \varepsilon\le r_0-1 segue r_0-\varepsilon\ge 1, e como \varepsilon\le 2-r_0 segue r_0+\varepsilon\le 2. Juntando com a desigualdade anterior obtemos
1<\|q\|<2.
Portanto q\in C. Concluímos que a bola aberta B(p,\varepsilon) está contida em C. Como p foi arbitrário, C é aberto.
Comentário intuitivo: como as fronteiras (os círculos de raio 1 e 2) estão excluídas, todo ponto interior tem uma pequena bolinha ao seu redor que também evita as fronteiras — é por isso que C é aberto.
Passo 4
Esboço do conjunto (como desenhar na prova):
Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
Desenhe um círculo de raio \,1 centrado na origem e outro de raio \,2 centrado na origem.
Pinte (ou sombreie) a região entre os dois círculos, mas não pinte as linhas dos próprios círculos (ou desenhe essas duas curvas tracejadas para indicar que não pertencem ao conjunto).
Esse esboço representa a coroa/anel entre as curvas x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
Passo 5
Provar que C é conexo (mais forte: mostrar que é path‑connected).
Definição prática: um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes abertas disjuntas não vazias. Uma forma mais simples de provar conexidade em \mathbb{R}^2 é mostrar que qualquer par de pontos pode ser ligado por um caminho contínuo inteiro contido no conjunto (path‑connected ⇒ conexo).
Sejam p_1 e p_2 pontos quaisquer de C. Use coordenadas polares:
Novamente os raios ficam em (1,2), logo toda \alpha_3\subset C.
Concatenando \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 obtém‑se um caminho contínuo em C de p_1 para p_2. Como p_1 e p_2 eram arbitrários, C é path‑connected e, portanto, conectado.
Comentário intuitivo: você sempre pode levar qualquer ponto para outro sem sair do anel: primeiro ajuste a distância ao centro, depois rode ao redor e por fim ajuste novamente a distância.
Passo 6
Provar que C não é simplesmente conexo.
Definição prática de simplesmente conexo: um conjunto aberto U\subset\mathbb{R}^2 é simplesmente conexo se toda curva fechada contínua em U pode ser continuamente deformada (contraída) a um ponto sem sair de U.
Construa uma curva fechada em C que circunda a origem uma vez, por exemplo
Aqui o raio é constantemente 3/2\in(1,2), então \gamma está contida em C.
Intuição do impedimento: \gamma dá uma volta inteira em torno da origem. A origem (o ponto (0,0)) está fora de C e fica dentro do buraco da coroa. A quantidade de voltas que uma curva dá em torno da origem (o chamado “número de volta” ou “winding number”) é uma propriedade contínua sob deformações que não atravessam a origem; portanto, qualquer deformação contínua de \gamma que permaneça em C preservaria o fato de que a curva dá uma volta em torno da origem. Uma curva constante (um ponto) tem winding number zero. Assim, não existe uma deformação em C que transforme \gamma numa curva constante, porque isso exigiria mudar o winding number de 1 para 0 sem cruzar a origem — impossível enquanto a homotopia ficar inteiramente dentro de C. Logo \gamma não é contratável em C, o que mostra que C não é simplesmente conexo.
Versão mais informal: há um “buraco” no centro (o disco \{r\le1\} e o ponto 0 não estão em C), esse buraco impede que uma curva que rode ao redor dele seja encolhida a um ponto sem atravessar o buraco. Portanto C não é simplesmente conexo.
Passo 7
Resumo das conclusões (curto e direto antes da resposta final):
C é uma coroa (anel) aberto entre os círculos de raios 1 e 2.
C é aberto.
C é conectado (mesmo path‑connected).
C não é simplesmente conexo por causa do buraco central que impede contração de curvas que o circundam.