Questão 9
Uma corrente de 40 mA é transportada por solenoide de núcleo com ar uniformemente enrolado com 450 espiras, diâmetro de
e comprimento de
. Compute (a) O campo magnético dentro de solenoide. (b) O fluxo magnético em cada volta. (c) A indutância do solenoide. (d) E se? Se a corrente fosse diferente, qual dessas quantidades mudaria?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Corrente:
. - Número de espiras:
. - Diâmetro do solenoide:
. - Raio do solenoide:
. - Comprimento do solenoide:
. - Núcleo com ar (ou seja, permeabilidade do meio
).
O enunciado pede:
(a) o campo magnético dentro do solenoide;
(b) o fluxo magnético em cada volta (fluxo por espira);
(c) a indutância do solenoide;
(d) se a corrente fosse diferente, qual(is) dessas quantidades mudaria(m).
(a) o campo magnético dentro do solenoide;
(b) o fluxo magnético em cada volta (fluxo por espira);
(c) a indutância do solenoide;
(d) se a corrente fosse diferente, qual(is) dessas quantidades mudaria(m).
Passo 2
Cálculo do campo magnético dentro do solenoide.
Teoria / fórmula usada:
Para um solenoide longo e uniformemente enrolado, o campo magnético no interior é dado por
Para um solenoide longo e uniformemente enrolado, o campo magnético no interior é dado por
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ); -
é o número de espiras por unidade de comprimento ( ); -
é a corrente.
Cálculo passo a passo:
Vamos avaliar numericamente (mostrando a conta):
Resultado arredondado com três algarismos significativos:
Passo 3
Cálculo do fluxo magnético em cada volta (fluxo por espira).
Teoria / fórmula usada:
O fluxo magnético através de uma espira é
O fluxo magnético através de uma espira é
onde
é a área da espira (assumimos campo uniforme e perpendicular ao plano da espira). A área de uma espira circular é
Cálculo passo a passo (usei o diâmetro
dado no enunciado para obter
):
Agora o fluxo:
Passo 4
Cálculo da indutância do solenoide.
Duas maneiras equivalentes de entender/obter
:
- Fórmula geométrica para um solenoide de núcleo de ar:
onde
é o número total de espiras,
a área da seção e
o comprimento.
- Definição via fluxo ligado (cadeia de fluxo): se
é o fluxo por espira, a ligação de fluxo total (fluxo ligado) é e
As duas formas dão o mesmo resultado para um solenoide linear.
Cálculo usando
(já temos
do Passo 3):
Ou seja,
(Se preferir ver pela fórmula geométrica, substituindo
,
,
e
obtém-se o mesmo valor numérico.)
Passo 5
Resposta à pergunta (d): o que muda se a corrente fosse diferente?
Explicação física e didática:
- O campo magnético dentro do solenoide segue a lei
. Isto mostra que é diretamente proporcional a . Portanto, se muda, muda na mesma proporção. - O fluxo por espira é
. Como é fixo (geometria do solenoide), também é diretamente proporcional a e portanto proporcional a . Logo, se muda, muda. - A indutância
de um solenoide de núcleo de ar depende apenas da geometria ( ) e de , não da corrente, enquanto o material for linear (núcleo de ar é linear). Assim, para núcleo de ar, não muda quando muda.
Observação adicional (importante): se o núcleo fosse um material ferromagnético com histerese ou saturação,
poderia variar com
. Mas no enunciado o núcleo é ar, então consideramos comportamento linear e
constante.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Se mudasse,
e
mudariam (proporcionais a
);
não mudaria (para núcleo de ar, linear).
(b)
(c)
(d) Se