Questão 9

Uma corrente de 40 mA é transportada por solenoide de núcleo com ar uniformemente enrolado com 450 espiras, diâmetro de 15,0 \mathrm{~mm} e comprimento de 12,0 \mathrm{~cm}. Compute (a) O campo magnético dentro de solenoide. (b) O fluxo magnético em cada volta. (c) A indutância do solenoide. (d) E se? Se a corrente fosse diferente, qual dessas quantidades mudaria?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Corrente: I=40\\ \mathrm{mA}=0,040\\ \mathrm{A}.
  • Número de espiras: N=450.
  • Diâmetro do solenoide: d=15{,}0\\ \mathrm{mm}=15{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Raio do solenoide: r=\dfrac{d}{2}=7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do solenoide: \ell=12{,}0\\ \mathrm{cm}=0,120\\ \mathrm{m}.
  • Núcleo com ar (ou seja, permeabilidade do meio \mu\approx\mu_0).
O enunciado pede:
(a) o campo magnético dentro do solenoide;
(b) o fluxo magnético em cada volta (fluxo por espira);
(c) a indutância do solenoide;
(d) se a corrente fosse diferente, qual(is) dessas quantidades mudaria(m).

Passo 2

Cálculo do campo magnético dentro do solenoide.
Teoria / fórmula usada:
Para um solenoide longo e uniformemente enrolado, o campo magnético no interior é dado por
B=\mu_0\,n\,I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m});
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento ( n=\dfrac{N}{\ell});
  • I é a corrente.
Cálculo passo a passo:
n=\frac{N}{\ell}=\frac{450}{0,120}=3750\\ \text{espiras/m}.
B=\mu_0\,n\,I=(4\pi\times10^{-7})\cdot(3750)\cdot(0,040)\\ \mathrm{T}.
Vamos avaliar numericamente (mostrando a conta):
4\pi\times10^{-7}\approx1{,}25663706\times10^{-6}.
1{,}25663706\times10^{-6}\cdot3750\cdot0{,}040 =1{,}88495579\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Resultado arredondado com três algarismos significativos:
B\approx1{,}88\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=0{,}188\\ \mathrm{mT}.

Passo 3

Cálculo do fluxo magnético em cada volta (fluxo por espira).
Teoria / fórmula usada:
O fluxo magnético através de uma espira é
\Phi=B\cdot A,
onde A é a área da espira (assumimos campo uniforme e perpendicular ao plano da espira). A área de uma espira circular é
A=\pi r^2.
Cálculo passo a passo (usei o diâmetro d=15{,}0\\ \mathrm{mm} dado no enunciado para obter r):
r=7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad A=\pi r^2=\pi(7{,}5\times10^{-3})^2=\pi\cdot56{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}
A\approx1{,}767145867\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Agora o fluxo:
\Phi=B\cdot A=(1{,}88495579\times10^{-4})\cdot(1{,}767145867\times10^{-4})\\ \mathrm{Wb}
\Phi\approx3{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 4

Cálculo da indutância do solenoide.
Duas maneiras equivalentes de entender/obter L:
  1. Fórmula geométrica para um solenoide de núcleo de ar:
L=\mu_0\frac{N^2 A}{\ell},
onde N é o número total de espiras, A a área da seção e \ell o comprimento.
  1. Definição via fluxo ligado (cadeia de fluxo): se \Phi é o fluxo por espira, a ligação de fluxo total (fluxo ligado) é \Lambda=N\Phi e
L=\frac{\Lambda}{I}=\frac{N\Phi}{I}.
As duas formas dão o mesmo resultado para um solenoide linear.
Cálculo usando L=N\Phi/I (já temos \Phi do Passo 3):
N\Phi=450\cdot(3{,}331\times10^{-8})\approx1{,}499\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.
L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{1{,}499\times10^{-5}}{0{,}040}\\ \mathrm{H}\approx3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{H}.
Ou seja,
L\approx3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=375\\ \mu\mathrm{H}.
(Se preferir ver pela fórmula geométrica, substituindo \mu_0, N^2, A e \ell obtém-se o mesmo valor numérico.)

Passo 5

Resposta à pergunta (d): o que muda se a corrente fosse diferente?
Explicação física e didática:
  • O campo magnético dentro do solenoide segue a lei \,B=\mu_0 n I\,. Isto mostra que B é diretamente proporcional a I. Portanto, se I muda, B muda na mesma proporção.
  • O fluxo por espira é \Phi=B\cdot A. Como A é fixo (geometria do solenoide), \Phi também é diretamente proporcional a B e portanto proporcional a I. Logo, se I muda, \Phi muda.
  • A indutância L de um solenoide de núcleo de ar depende apenas da geometria ( N,\\ A,\\ \ell) e de \mu_0, não da corrente, enquanto o material for linear (núcleo de ar é linear). Assim, para núcleo de ar, L não muda quando I muda.
Observação adicional (importante): se o núcleo fosse um material ferromagnético com histerese ou saturação, L poderia variar com I. Mas no enunciado o núcleo é ar, então consideramos comportamento linear e L constante.

Resposta

(a) B\approx1{,}88\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=0{,}188\\ \mathrm{mT}
(b) \Phi\approx3{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{Wb}
(c) L\approx3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=375\\ \mu\mathrm{H}
(d) Se I mudasse, B e \Phi mudariam (proporcionais a I); L não mudaria (para núcleo de ar, linear).

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