Questão 20. Considere o escoamento sobre um biplano com asas de corda c em um ângulo de ataque \alpha. As asas são verticalmente alinhadas e estão a uma distância h uma da outra. Usando o modelo do vórtice concentrado, encontre o coeficiente de sustentção de cada uma das asas.

Passo 1

Temos um biplano de duas asas infinitas de corda c, separadas verticalmente por h, imerso em escoamento uniforme de velocidade U_\infty a ângulo de ataque \alpha. Vamos modelar cada asa por um vortex concentrado (horseshoe) com circulações \Gamma_1 (asa superior) e \Gamma_2 (asa inferior) e usar a teoria de aerofólio infinito (inclinação a_0=2\pi) para obter os coeficientes de sustentação.

Passo 2

Cada asa “vê” um ângulo efetivo \alpha_i que é o ângulo livre menos (ou mais) a ação da velocidade induzida da outra asa. Definindo
\alpha_1=\alpha-\frac{w_{21}}{U_\infty},\qquad \alpha_2=\alpha+\frac{w_{12}}{U_\infty},
onde aproximamos
\;w_{21}=\frac{\Gamma_2}{2\,h},\qquad w_{12}=\frac{\Gamma_1}{2\,h}.

Passo 3

Pela teoria de aerofólio infinito vale
\Gamma_i=\pi\,c\,U_\infty\,\alpha_i\quad(i=1,2),
pois a_0=2\pi e \Gamma= \tfrac{a_0\,c\,U_\infty}{2}\,\alpha=\pi cU_\infty\alpha. Substituindo \alpha_1 e \alpha_2 achamos o sistema
\begin{cases} \displaystyle \Gamma_1=\pi cU_\infty\Bigl(\alpha-\frac{\Gamma_2}{2h\,U_\infty}\Bigr),\\[6pt] \displaystyle \Gamma_2=\pi cU_\infty\Bigl(\alpha+\frac{\Gamma_1}{2h\,U_\infty}\Bigr). \end{cases}]

Passo 4

Defina
K=\frac{\pi c}{2\,h},\quad A=\pi\,c\,U_\infty\,\alpha.
O sistema vira
\begin{cases} \Gamma_1+K\,\Gamma_2=A,\\\\ -\,K\,\Gamma_1+\Gamma_2=A. \end{cases}
Resolvendo em \Gamma_1,\Gamma_2 obtemos
\Gamma_1=A\,\frac{1-K}{1+K^2},\qquad \Gamma_2=A\,\frac{1+K}{1+K^2}.

Passo 5

O coeficiente de sustentação de cada asa é
C_{Li}=\frac{L_i}{\tfrac12\rho U_\infty^2 c} =\frac{\rho U_\infty\Gamma_i}{\tfrac12\rho U_\infty^2 c} =\frac{2\,\Gamma_i}{U_\infty\,c}.
Assim, substituindo \Gamma_i, resulta
C_{L1} =2\pi\,\alpha\;\frac{1-K}{1+K^2},\qquad C_{L2} =2\pi\,\alpha\;\frac{1+K}{1+K^2},
com K=\dfrac{\pi c}{2h}.

Resposta

C_{L1} =2\pi\,\alpha\;\frac{1-\dfrac{\pi c}{2h}}{1+\bigl(\dfrac{\pi c}{2h}\bigr)^{2}}, \qquad C_{L2} =2\pi\,\alpha\;\frac{1+\dfrac{\pi c}{2h}}{1+\bigl(\dfrac{\pi c}{2h}\bigr)^{2}}.

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