Questão 17. (Inequaçães do segundo grau) Resolva as inequações, escreve sua resposta em forma de intervalos e ilustre o resultado na reta real.
x^2 >= 5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação do segundo grau
x^2 >= 5
e expressar a solução em forma de intervalos, além de ilustrá-la na reta real. Para isso, vamos usar fatoração de diferença de quadrados e análise de sinal.

Passo 2

Reescrevemos a inequação na forma padrão:
x^2 - 5 >= 0
Note que x^2-5 é uma diferença de quadrados, pois
x^2-5 = l(x - raiz5r),l(x + raiz5r)
Assim, queremos
l(x - raiz5r),l(x + raiz5r) >= 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde cada fator muda de sinal, ou seja,
x - raiz5 = 0 implies x = raiz5,
x + raiz5 = 0 implies x = -raiz5
Para l(x - raiz5r),l(x + raiz5r)>=0, ambos os fatores devem ser simultaneamente não negativos ou simultaneamente não positivos.
  • Se x >= raiz5, então x-raiz5>=0 e x+raiz5>0, produto não negativo.
  • Se x <= -raiz5, então x-raiz5<0 e x+raiz5<=0, produto não negativo.
  • Para -raiz5 < x < raiz5, os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo.

Passo 4

Concluímos que a solução em forma de intervalos é
(-infty,,-raiz5] ;cup; [raiz5,,+infty)

Passo 5

Ilustração na reta real, marcando os pontos -raiz5 e raiz5 e sombreando para a esquerda de -raiz5 e para a direita de raiz5:
-infty ====] [ ==== +infty -raiz5 raiz5
Aqui, o símbolo ] em -raiz5 e [ em raiz5 indica que esses pontos estão incluídos.

Resposta

(-infty,,-raiz5] ;cup; [raiz5,,+infty)

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