Questão 12 - Uma partícula se move com aceleração constante
\vec{a}_{0}=\left(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \mathbf{i}+\left(4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \boldsymbol{j} \quad \text {. No tempo }
\mathrm{t}=0 a velocidade é zero e o vetor posição é \quad \vec{r}_{0}=(10 m) \boldsymbol{i}. (a) Encontre os vetores velocidade e posição em função do tempo. (b) Encontre a equação da trajetória da partícula no plano x y e faça o esboço desta trajetória. \mathbf{R : y ( x )} \boldsymbol{=} \mathbf{( 0 , 6 7 x} \boldsymbol{-} \mathbf{6 , 6 7} \boldsymbol{) m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar todas as quantidades numéricas que importam):
  • A aceleração é constante e vale \vec{a}_0=(6\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\mathbf{i}+(4\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\mathbf{j}.
  • No tempo inicial \,t=0, a velocidade é nula: \vec{v}(0)=\vec{0}.
  • No tempo inicial \,t=0, o vetor posição é \vec{r}(0)=\vec{r}_0=(10\\ \mathrm{m})\,\mathbf{i}. Ou seja, x(0)=10\\ \mathrm{m} e y(0)=0.
    O enunciado pede:
    (a) encontrar os vetores velocidade \vec{v}(t) e posição \vec{r}(t) em função do tempo;
    (b) encontrar a equação da trajetória da partícula no plano xy (ou seja, y(x)) e esboçar essa trajetória.

Passo 2

Relembrando (fórmulas que vamos usar) — para movimento com aceleração constante:
\vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t,
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}(0)\,t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{a} é a aceleração (vetor constante), com componentes \,a_x e \,a_y.
  • \vec{v}(t) é a velocidade no instante t; \vec{v}(0) é a velocidade inicial.
  • \vec{r}(t) é a posição no instante t; \vec{r}(0) é a posição inicial.
    Essas fórmulas valem componente a componente. Então vamos escrever tudo em componentes x e y.

Passo 3

Identificar componentes a partir dos dados:
a_x=6\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad a_y=4\\ \mathrm{m/s^{2}},
v_{0x}=0,\qquad v_{0y}=0,
x_0=10\\ \mathrm{m},\qquad y_0=0.

Passo 4

Calcular a velocidade componente a componente usando \,v_x(t)=v_{0x}+a_x t e \,v_y(t)=v_{0y}+a_y t.
v_x(t)=0+6\,t=6t\quad(\mathrm{m/s}),
v_y(t)=0+4\,t=4t\quad(\mathrm{m/s}).
Portanto, em forma vetorial:
\vec{v}(t)=(6t)\,\mathbf{i}+(4t)\,\mathbf{j}\qquad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Calcular a posição componente a componente usando \,x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2 e \,y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac{1}{2}a_y t^2.
x(t)=10+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot6\,t^{2}=10+3t^{2}\quad(\mathrm{m}),
y(t)=0+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot4\,t^{2}=2t^{2}\quad(\mathrm{m}).
Logo, em forma vetorial:
\vec{r}(t)=(10+3t^{2})\,\mathbf{i}+(2t^{2})\,\mathbf{j}\qquad(\mathrm{m}).

Passo 6

Agora obter a equação da trajetória y(x) eliminando o parâmetro t.
A partir de y(t)=2t^{2} temos
t^{2}=\frac{y}{2}.
A partir de x(t)=10+3t^{2} temos
x=10+3t^{2}.
Substituindo t^{2}=\dfrac{y}{2} em x:
x=10+3\cdot\frac{y}{2}=10+\frac{3y}{2}.
Agora isolar y em função de x:
\frac{3y}{2}=x-10\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}(x-10).
Colocando na forma expandida e com valores numéricos aproximados:
y(x)=\frac{2}{3}x-\frac{20}{3}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}6667\,x-6{,}6667\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação física e esboço (descrição para você desenhar na prova):
  • A equação y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{20}{3} é uma reta. Portanto a trajetória é uma reta (não uma parábola).
  • Isso faz sentido fisicamente: com \vec{v}(0)=\vec{0} e aceleração constante, a partícula acelera sempre na direção de \vec{a}. Assim o movimento é retilíneo na direção do vetor \vec{a}. A inclinação da reta é a_y/a_x=4/6=2/3.
  • Ponto inicial: quando t=0, (x,y)=(10,0) — a reta passa por esse ponto. Conforme t aumenta, x e y crescem e o ponto se desloca ao longo da reta para a primeira quadrante.
    Para esboçar: desenhe os eixos x e y, marque o ponto (10,0), trace uma reta com coeficiente angular 2/3 passando por esse ponto e coloque uma seta indicando o sentido crescente de t.

Resposta

\vec{v}(t)=(6t)\,\mathbf{i}+(4t)\,\mathbf{j}\\ \mathrm{(m/s)}
\vec{r}(t)=(10+3t^{2})\,\mathbf{i}+(2t^{2})\,\mathbf{j}\\ \mathrm{(m)}
y(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{20}{3}\\ \mathrm{m}\\ \approx\\\ 0{,}6667\,x-6{,}6667\\ \mathrm{m}

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