Questão 12 - Uma partícula se move com aceleração constante
a velocidade é zero e o vetor posição é
. (a) Encontre os vetores velocidade e posição em função do tempo. (b) Encontre a equação da trajetória da partícula no plano
e faça o esboço desta trajetória.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar todas as quantidades numéricas que importam):
- A aceleração é constante e vale
. - No tempo inicial
, a velocidade é nula: . - No tempo inicial
, o vetor posição é . Ou seja, e .
O enunciado pede:
(a) encontrar os vetores velocidadee posição em função do tempo;
(b) encontrar a equação da trajetória da partícula no plano(ou seja, ) e esboçar essa trajetória.
Passo 2
Relembrando (fórmulas que vamos usar) — para movimento com aceleração constante:
Explicando cada símbolo:
-
é a aceleração (vetor constante), com componentes e . -
é a velocidade no instante ; é a velocidade inicial. -
é a posição no instante ; é a posição inicial.
Essas fórmulas valem componente a componente. Então vamos escrever tudo em componentese .
Passo 3
Identificar componentes a partir dos dados:
Passo 4
Calcular a velocidade componente a componente usando
e
.
Portanto, em forma vetorial:
Passo 5
Calcular a posição componente a componente usando
e
.
Logo, em forma vetorial:
Passo 6
Agora obter a equação da trajetória
eliminando o parâmetro
.
A partir de temos
A partir de
A partir de
temos
Substituindo
em
:
Agora isolar
em função de
:
Colocando na forma expandida e com valores numéricos aproximados:
Passo 7
Interpretação física e esboço (descrição para você desenhar na prova):
- A equação
é uma reta. Portanto a trajetória é uma reta (não uma parábola). - Isso faz sentido fisicamente: com
e aceleração constante, a partícula acelera sempre na direção de . Assim o movimento é retilíneo na direção do vetor . A inclinação da reta é . - Ponto inicial: quando
, — a reta passa por esse ponto. Conforme aumenta, e crescem e o ponto se desloca ao longo da reta para a primeira quadrante.
Para esboçar: desenhe os eixose , marque o ponto , trace uma reta com coeficiente angular passando por esse ponto e coloque uma seta indicando o sentido crescente de .