Questão-17. Resolva as questões que seguem:
Se sec x=43, 0<x<pi2, calcule tg 3 x.

Passo 1

O enunciado dá sec x = tfrac43 com 0<x<tfracpi2 e pede tan(3x). Vamos usar definição de secante, relações pitagóricas para obter sin x e tan x, e depois a fórmula do ângulo triplo para tangente.

Passo 2

De sec x = tfrac43 segue
cos x = 1sec x = 34
Como 0<x<tfracpi2, temos sin x>0, logo
sin x = raiz1-cos^2 x = raiz1-l(tfrac34r)^2 = raiz74
Isso dá
tan x = sin xcos x = tfracraiz74tfrac34 = raiz73

Passo 3

A identidade de ângulo triplo para tangente é
tan(3x) = 3,tan x - tan^3 x1 - 3,tan^2 x
Substituindo tan x = tfracraiz73, temos
tan^2 x = 79, tan^3 x = 7raiz727,
então
tan(3x) = 3cdottfracraiz73 - tfrac7raiz727 1 - 3cdottfrac79 = raiz7 - tfrac7raiz727 1 - tfrac73

Passo 4

No numerador
raiz7 - 7raiz727 = 27raiz7 - 7raiz727 = 20raiz727
No denominador
1 - 73 = -43
Portanto
tan(3x) = tfrac20raiz727-tfrac43 = 20raiz727,cdot!l(-34r) = -5raiz79

Resposta

tan(3x) = -5raiz79

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