Questão - 7. Estude a variação das seguintes funções reais:
f(x)=sen x+cos xcos x-sen x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação (monotonicidade) da função
f(x)=sin x+cos xcos x-sin x
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: vamos determinar o domínio, calcular a derivada f'(x) e analisar seu sinal para concluir onde f é crescente ou decrescente.

Passo 2

Primeiro, encontramos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, imponho
cos x - sin x neq 0 Longrightarrow tan x neq 1 Longrightarrow x neq pi4 + kpi,;kinZ
Logo o domínio é R menos os pontos x=pi4+kpi.

Passo 3

Agora calculo a derivada usando a regra do quociente. Seja
N(x)=sin x+cos x, D(x)=cos x-sin x
Então f(x)=N(x)/D(x),
N'(x)=cos x-sin x=D(x), D'(x)=-sin x-cos x=-,N(x)
Pela regra do quociente,
f'(x) =N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 =D(x),D(x)-N(x)l(-N(x)r)[D(x)]^2 =D(x)^2+N(x)^2[D(x)]^2

Passo 4

Calculo D(x)^2+N(x)^2:
(cos x-sin x)^2+(sin x+cos x)^2 =l(cos^2x+sin^2x-2sin xcos xr) +l(sin^2x+cos^2x+2sin xcos xr) =2(sin^2x+cos^2x) =2
Portanto
f'(x)=2(cos x-sin x)^2
Como o quadrado do denominador é sempre positivo no domínio, temos f'(x)>0 para todo x em que f está definida.

Passo 5

Conclusão sobre variação: em cada intervalo de definição, isto é, entre dois pontos sucessivos pi4+kpi e pi4+(k+1)pi, a derivada é positiva. Logo f é estritamente crescente em cada um desses intervalos. Não há trechos decrescentes nem extremos locais, apenas assimptotas verticais em x=pi4+kpi.

Resposta

A função f(x)=sin x+cos xcos x-sin x é estritamente crescente em cada intervalo
l(tfracpi4+kpi,;tfracpi4+(k+1)pir), kinZ,
e não está definida em x=tfracpi4+kpi.

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