(Questão 17 - Seção 3.4 - Magalhães) Obtenha a conjunta de X e Y e a marginal de Y, sendo dados:
p(x)=x / 3, x=1,2 ; p(y \mid x)=\binom{x}{y}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, y \in N, y \leq x \text { e } x=1,2

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória discreta X com
p_X(x)=\frac{x}{3},\quad x=1,2
e, dado X=x, a variável Y segue uma binomial de parâmetros (x,1/2):
p_{Y\mid X}(y\mid x)=\binom{x}{y}\Bigl(\frac12\Bigr)^{x},\quad y=0,1,\dots,x.
Precisamos achar a conjunta p_{X,Y}(x,y) e a marginal p_Y(y).

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional,
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\;p_{Y\mid X}(y\mid x).
Substituindo p_X(x)=x/3 e p_{Y\mid X}(y\mid x)=\binom{x}{y}(1/2)^x,
p_{X,Y}(x,y)=\frac{x}{3}\,\binom{x}{y}\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}.

Passo 3

Agora listamos os valores possíveis de (x,y):
Para x=1, y\in\{0,1\}:
p_{X,Y}(1,0)=\frac{1}{3}\binom{1}{0}\Bigl(\frac12\Bigr)^1 =\frac{1}{3}\cdot\frac12=\frac16,
p_{X,Y}(1,1)=\frac{1}{3}\binom{1}{1}\Bigl(\frac12\Bigr)^1 =\frac{1}{3}\cdot\frac12=\frac16.
Para x=2, y\in\{0,1,2\}:
p_{X,Y}(2,y) =\frac{2}{3}\binom{2}{y}\Bigl(\frac12\Bigr)^2 =\frac{2}{3}\,\frac{\binom{2}{y}}{4}.
Assim,
p_{X,Y}(2,0)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6},\quad p_{X,Y}(2,1)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{3},\quad p_{X,Y}(2,2)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.

Passo 4

Para obter a marginal de Y, somamos a conjunta sobre x:
p_Y(y)=\sum_{x=1}^{2}p_{X,Y}(x,y).
Logo,
p_Y(0)=p_{X,Y}(1,0)+p_{X,Y}(2,0)=\frac16+\frac16=\frac13,
p_Y(1)=p_{X,Y}(1,1)+p_{X,Y}(2,1)=\frac16+\frac13=\frac12,
p_Y(2)=p_{X,Y}(2,2)=\frac16.

Resposta

A conjunta é
p_{X,Y}(1,0)=\tfrac16,\quad p_{X,Y}(1,1)=\tfrac16,\quad p_{X,Y}(2,0)=\tfrac16,\quad p_{X,Y}(2,1)=\tfrac13,\quad p_{X,Y}(2,2)=\tfrac16.
A marginal de Y é
p_Y(0)=\tfrac13,\quad p_Y(1)=\tfrac12,\quad p_Y(2)=\tfrac16.

Exercícios relacionados