Seja ( X, Y ) um vetor aleatório cuja função de densidade é constante na região A \subset \mathbb{R}^{2} definida por A=\{(x, y) ; 0<y<x ; x+y<1\}. Determine:
(a) A função de densidade conjunta de X e Y.
(b) As funções de densidades marginais de X e de Y.
(c) P(X<0,5 ; Y>0,25).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuído na região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0<y<x,\;x+y<1\}.
Pede-se:
(a) a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y),
(b) as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y),
(c) P(X<0,5,\;Y>0,25).
Para resolver, vamos primeiro achar a área de A, depois usar que a densidade é constante em A e zero fora, e finalmente fazer integrais apropriadas.

Passo 2

Calcular a área de A. Note que as desigualdades equivalem a
0<y< x,\quad x+y<1\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} y\in(0,\tfrac12),\\\ x\in\bigl(y,\,1-y\bigr). \end{cases}
Assim
\text{Area}(A) =\int_{y=0}^{1/2}\int_{x=y}^{1-y}dx\,dy =\int_{0}^{1/2}(1-y - y)\,dy =\int_{0}^{1/2}(1-2y)\,dy =\bigl[y - y^2\bigr]_{0}^{1/2} =\tfrac12 - \tfrac14 =\tfrac14.

Passo 3

Como a distribuição é uniforme em A, a densidade conjunta vale
f_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \dfrac{1}{\text{Area}(A)}=\;4,&(x,y)\in A,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

Obter as densidades marginais por integração de [f_{X,Y}).
Para f_X(x), note que em A temos 0<x<1 e y\in\bigl(0,\min(x,1-x)\bigr). Logo
f_X(x) =\int_{y=0}^{\min(x,\,1-x)}4\,dy =4\;\min\bigl(x,\,1-x\bigr).
Em forma de pedaços:
f_X(x) =\begin{cases} 4x,&0<x\le \tfrac12,\\\\ 4(1-x),&\tfrac12<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
Para f_Y(y)\], \(y varia em (0,\tfrac12) e para cada y temos x\in(y,\,1-y). Assim
f_Y(y) =\int_{x=y}^{1-y}4\,dx =4\bigl((1-y)-y\bigr) =4(1-2y), \quad 0<y<\tfrac12,
e f_Y(y)=0 fora desse intervalo.

Passo 5

Calcular P(X<0,5,\;Y>0,25). No interior de A, as condições Y>0,25 e X<0,5 e Y<X e X+Y<1 reduzem-se a
0,25<y<x<0,5.
Logo
P(X<0,5,\;Y>0,25) =\int_{x=0,25}^{0,5}\int_{y=0,25}^{x}4\,dy\,dx =4\int_{0,25}^{0,5}(x-0,25)\,dx.
Fazendo a integral:
\int_{0,25}^{0,5}(x-0,25)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-0,25x\Bigr]_{0,25}^{0,5} = \bigl(\tfrac{0,5^2}{2}-0,25\cdot0,5\bigr) - \bigl(\tfrac{0,25^2}{2}-0,25\cdot0,25\bigr) =0 -(-0,03125) =0,03125.
Multiplicando por 4 0,125, ou seja \tfrac18.

Resposta

(a) f_{X,Y}(x,y)=4\) para \(0<y<x\) e \(x+y<1\), e zero fora. (b) \[f_X(x)= \begin{cases} 4x,&0<x\le\tfrac12,\\\\ 4(1-x),&\tfrac12<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} 4(1-2y),&0<y<\tfrac12,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
(c) P(X<0,5,\;Y>0,25)=0,125\] (ou \(\tfrac18).

Exercícios relacionados