Seja ( X, Y ) um vetor aleatório cuja função de densidade é constante na região A \subset \mathbb{R}^{2} definida por A=\{(x, y) ; 0<y<x ; x+y<1\}. Determine:
(a) A função de densidade conjunta de X e Y.
(b) As funções de densidades marginais de X e de Y.
(c) P(X<0,5 ; Y>0,25).
Passo 1
O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuído na região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0<y<x,\;x+y<1\}.
Pede-se:
(a) a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y),
(b) as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y),
(c) P(X<0,5,\;Y>0,25).
Para resolver, vamos primeiro achar a área de A, depois usar que a densidade é constante em A e zero fora, e finalmente fazer integrais apropriadas.
Passo 2
Calcular a área de A. Note que as desigualdades equivalem a