Questão 17.Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e 25 % são classificados como bons (B), 50 % como médios (M) e os restantes 25 % como fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. Para isso, gostaria de conhecer qual é a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). Cosidere que no final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais: P(A mid B)=0,80 ; P(A mid M)=0,50 ; P(A mid F)=0,20. Resposta: 10 %

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e qual parte da matéria vamos usar.
Enunciado resumido: uma empresa tem três grupos de candidatos (bons B, médios M e fracos F), com probabilidades a priori
P(B)=25%,;P(M)=50%,;P(F)=25%
Eles aplicam um teste antes do curso que pode dar “A” (aprovado) ou “R” (reprovado). Sabemos as seguintes condicionais:
P(Amid B)=0,80,;P(Amid M)=0,50,;P(Amid F)=0,20
Queremos saber: qual é a probabilidade de um indivíduo ser fraco (F), dado que ele foi aprovado no teste (A), ou seja, .
Conteúdo da matéria: Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes. Precisamos dessas duas ferramentas para chegar ao resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar P(A)=P(B),P(Amid B)+P(M),P(Amid M)+P(F),P(Amid F), a probabilidade de qualquer candidato ser aprovado no teste. A gente usa o Teorema da Probabilidade Total, que diz:
P(A)&=0,25cdot0,80 ;+;0,50cdot0,50;+;0,25cdot0,20 &=0,20;+;0,25;+;0,05 &=0,50
Substituindo os números (transformando porcentagens em decimais):

Ou seja, 50% de chance de alguém, em média, ser aprovado no teste.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
P(Fmid A) =P(F),P(Amid F)P(A)
Substituindo:
P(Fmid A) =0,25times0,200,50 =0,050,50 =0,10
Isso quer dizer 0,10 em decimal, ou seja, 10%.

Resposta

A probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser fraco é 10 %.

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