Sejam
e
subconjuntos quaisquer, expresse em notação matemática os conjuntos cujos elementos:
Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de
. Exemplo:
expressão matemática do conjunto
unido a
é:
ou
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz: “Temos três subconjuntos quaisquer A, B e C. Exprime em notação matemática o conjunto cujos elementos estão simultaneamente na intersecção de A, B e C e também no complementar de A.”
Conteúdo: operações com conjuntos (intersecção e complemento) e notação por compreensão. Vamos precisar saber que
Conteúdo: operações com conjuntos (intersecção e complemento) e notação por compreensão. Vamos precisar saber que
- A ∩ B ∩ C = {x : x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}
- Aᶜ = {x : x ∉ A}
Passo 2
Primeiro, vamos juntar as condições em uma descrição por compreensão.
“x está na intersecção dos três” vira
x ∈ A ∩ B ∩ C ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)
“x está no complementar de A” vira
x ∈ Aᶜ ⇔ x ∉ A
Juntando tudo:
X = { x : x ∈ A ∩ B ∩ C e x ∉ A }
“x está na intersecção dos três” vira
x ∈ A ∩ B ∩ C ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)
“x está no complementar de A” vira
x ∈ Aᶜ ⇔ x ∉ A
Juntando tudo:
X = { x : x ∈ A ∩ B ∩ C e x ∉ A }
Passo 3
Agora escrevemos usando intersecção e complemento diretamente:
X = (A ∩ B ∩ C) ∩ Aᶜ
X = (A ∩ B ∩ C) ∩ Aᶜ
Passo 4
Repara que se x ∈ A ∩ B ∩ C, então x ∈ A. Mas ao mesmo tempo exigimos x ∉ A (pois x ∈ Aᶜ). Isso é impossível!
Logo não há nenhum x que satisfaça as duas condições.
Logo não há nenhum x que satisfaça as duas condições.