Questão 17. Use o Critério da Integral e verifique se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{4}}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede: verificar, usando o Critério da Integral, se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{4}}
é convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
a_n=\frac{n}{1+n^{4}},\quad n=0,1,2,\dots
Observação imediata: \displaystyle a_0=\frac{0}{1+0^{4}}=0, então a soma a partir de n=0 tem o mesmo comportamento da soma a partir de n=1. Portanto podemos estudar
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{1+n^{4}}.

Passo 2

Explicando o Critério da Integral (com calma, como se eu estivesse te explicando no caderno):
O Critério da Integral diz o seguinte: se existe uma função contínua, positiva e decrescente f(x) em [1,\infty) tal que f(n)=a_n para todo n\ge 1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n e a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
O que cada condição significa:
  • “Contínua”: você consegue integrar sem problemas de descontinuidade.
  • “Positiva”: f(x)>0 para x\ge 1 (importante para comparar soma com área).
  • “Decrescente”: f'(x)\le 0 para x suficientemente grande, isto garante que as parcelas da série correspondem a “áreas” que se encaixam bem com a integral.
Nos próximos passos eu vou definir f(x) igual ao termo geral contínuo e verificar essas condições para aplicar o critério.

Passo 3

Defino a função contínua correspondente:
f(x)=\frac{x}{1+x^{4}},\qquad x\ge 1,
que foi obtida apenas trocando n por x em a_n.
Verifico positividade e continuidade:
  • Para x\ge 1 temos x>0 e 1+x^{4}>0, logo f(x)>0.
  • A função é quociente de polinômios com denominador não nulo para todo x, portanto é contínua em [1,\infty).
Verifico que f é decrescente em [1,\infty) (ou pelo menos a partir de algum ponto \ge 1):
Calculo a derivada de f. Usando a regra do quociente,
f'(x)=\frac{(1+x^{4})\cdot 1 - x\cdot 4x^{3}}{(1+x^{4})^{2}}=\frac{1+x^{4}-4x^{4}}{(1+x^{4})^{2}}=\frac{1-3x^{4}}{(1+x^{4})^{2}}.
O denominador (1+x^{4})^{2} é sempre positivo. O sinal de f'(x) é, portanto, o sinal do numerador 1-3x^{4}.
  • Se x^{4}>\tfrac{1}{3} então 1-3x^{4}<0 e f'(x)<0.
    Como (1/3)^{1/4}<1, para todo x\ge 1 vale x^{4}\ge 1>\tfrac{1}{3}, logo f'(x)<0 em [1,\infty). Assim f é decrescente em [1,\infty).
Conclusão deste passo: f satisfaz as condições do Critério da Integral em [1,\infty).

Passo 4

Calculo da integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}\,dx.
Faço uma substituição para integrar: ponha \displaystyle u=x^{2}. Então \displaystyle du=2x\,dx, ou seja \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}\,du. Além disso \displaystyle 1+x^{4}=1+u^{2}. Substituindo,
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du.
A integral indefinida \displaystyle\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du é \arctan(u)+C. Portanto
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx=\frac{1}{2}\arctan(u)+C=\frac{1}{2}\arctan(x^{2})+C.
Agora aplico isso à integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{x}{1+x^{4}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[\frac{1}{2}\arctan(x^{2})\right]_{1}^{b}.

Passo 5

Avalio o limite:
\lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2}\arctan(b^{2})-\frac{1}{2}\arctan(1)\right).
Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to\infty}\arctan(t)=\frac{\pi}{2} e \arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8},
que é um número finito. Portanto a integral imprópria converge.

Passo 6

Conclusão pelo Critério da Integral: como f é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty) e \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (valor finito \pi/8), então a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{1+n^{4}}
converge. Como a_0=0, a série original \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{1+n^{4}} tem o mesmo comportamento: converge.

Resposta

A série converge.

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