Questão 17. Use o Critério da Integral e verifique se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede: verificar, usando o Critério da Integral, se a série
é convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Observação imediata:
, então a soma a partir de
tem o mesmo comportamento da soma a partir de
. Portanto podemos estudar
Passo 2
Explicando o Critério da Integral (com calma, como se eu estivesse te explicando no caderno):
O Critério da Integral diz o seguinte: se existe uma função contínua, positiva e decrescente em
tal que
para todo
, então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
O Critério da Integral diz o seguinte: se existe uma função contínua, positiva e decrescente
O que cada condição significa:
- “Contínua”: você consegue integrar sem problemas de descontinuidade.
- “Positiva”:
para (importante para comparar soma com área). - “Decrescente”:
para suficientemente grande, isto garante que as parcelas da série correspondem a “áreas” que se encaixam bem com a integral.
Nos próximos passos eu vou definir
igual ao termo geral contínuo e verificar essas condições para aplicar o critério.
Passo 3
Defino a função contínua correspondente:
que foi obtida apenas trocando
por
em
.
Verifico positividade e continuidade:
- Para
temos e , logo . - A função é quociente de polinômios com denominador não nulo para todo
, portanto é contínua em .
Verifico que
é decrescente em
(ou pelo menos a partir de algum ponto
):
Calculo a derivada de . Usando a regra do quociente,
Calculo a derivada de
O denominador
é sempre positivo. O sinal de
é, portanto, o sinal do numerador
.
- Se
então e .
Como, para todo vale , logo em . Assim é decrescente em .
Conclusão deste passo:
satisfaz as condições do Critério da Integral em
.
Passo 4
Calculo da integral imprópria associada:
Faço uma substituição para integrar: ponha
. Então
, ou seja
. Além disso
. Substituindo,
A integral indefinida
é
. Portanto
Agora aplico isso à integral imprópria:
Passo 5
Avalio o limite:
Sabemos que
e
. Logo
que é um número finito. Portanto a integral imprópria converge.
Passo 6
Conclusão pelo Critério da Integral: como
é contínua, positiva e decrescente em
e
converge (valor finito
), então a série
converge. Como
, a série original
tem o mesmo comportamento: converge.
Resposta
A série converge.