converge ou diverge. Informações dadas e o que precisamos checar:
A série é alternada porque o fator (-1)^{n+1} muda o sinal de termo para termo.
A parte positiva (módulo) dos termos é
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+1},
que é uma sequência de números reais positivos para n\ge1.
Usando o Critério de Leibniz, precisamos verificar duas coisas sobre a sequência (a_n):
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
A sequência (a_n) é monotonicamente decrescente (ou pelo menos decrescente a partir de algum N).
Se as duas condições valem, então a série alternada converge.
Passo 2
Vamos explicar o Critério de Leibniz de maneira clara e prática. Seja uma série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n
onde a_n\ge0 para todo n. O Critério de Leibniz diz que se
a_n é uma sequência decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para n suficientemente grande) e
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
então a série converge. Observações úteis:
Não é preciso que a_n seja decrescente desde n=1; basta que seja decrescente a partir de algum N (decrescimento eventual).
Quando o critério vale, a convergência pode ser apenas condicional (ou seja, a série não precisa convergir absolutamente).
Além disso, o resto R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n satisfaz o estimador |R_N|\le a_{N+1}.
Passo 3
Primeira verificação: mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Calculemos o limite dividindo numerador e denominador por n^3:
Analisando o sinal: o denominador (x^{3}+1)^{2} é sempre positivo para x\ge1. O fator extra x no numerador é positivo para x\ge1. Assim o sinal de f'(x) é o mesmo de -x^{3}+2.
Para x\ge2 temos -x^{3}+2\le -8+2=-6<0. Portanto f'(x)<0 para todo x\ge2. Isso mostra que f é decrescente em [2,\infty). Consequentemente, a sequência (a_n)=(f(n)) é decrescente para n\ge2.
Também podemos checar manualmente o caso inicial n=1 para garantir decrescimento desde o começo:
Como a_2<a_1 e a sequência é decrescente para n\ge2, concluímos que (a_n) é decrescente para todo n\ge1. Portanto a segunda condição do Critério de Leibniz também vale.
Passo 5
Aplicando o Critério de Leibniz com as duas condições verificadas ( a_n\ge0, a_n\searrow e a_n\to0 ), concluímos que a série
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge e o limite acima é um número finito e não nulo, pelo critério da comparação limite (limit comparison test) segue que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n também diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Passo 6
Comentário prático útil para prova: pelo Critério de Leibniz, o resto após truncar a série nas N primeiras parcelas tem módulo limitado por a_{N+1}. Em notação: