Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{n^{2}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Critério de Leibniz, se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot\frac{n^{2}}{n^{3}+1}
converge ou diverge. Informações dadas e o que precisamos checar:
  • A série é alternada porque o fator (-1)^{n+1} muda o sinal de termo para termo.
  • A parte positiva (módulo) dos termos é
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+1},
que é uma sequência de números reais positivos para n\ge1.
  • Usando o Critério de Leibniz, precisamos verificar duas coisas sobre a sequência (a_n):
    1. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
    2. A sequência (a_n) é monotonicamente decrescente (ou pelo menos decrescente a partir de algum N).
      Se as duas condições valem, então a série alternada converge.

Passo 2

Vamos explicar o Critério de Leibniz de maneira clara e prática. Seja uma série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n
onde a_n\ge0 para todo n. O Critério de Leibniz diz que se
  • a_n é uma sequência decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para n suficientemente grande) e
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
    então a série converge. Observações úteis:
  • Não é preciso que a_n seja decrescente desde n=1; basta que seja decrescente a partir de algum N (decrescimento eventual).
  • Quando o critério vale, a convergência pode ser apenas condicional (ou seja, a série não precisa convergir absolutamente).
  • Além disso, o resto R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n satisfaz o estimador |R_N|\le a_{N+1}.

Passo 3

Primeira verificação: mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Calculemos o limite dividindo numerador e denominador por n^3:
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+1}=\frac{n^{2}/n^{3}}{(n^{3}+1)/n^{3}}=\frac{1/n}{1+1/n^{3}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1+1/n^{3}} = \frac{0}{1+0}=0.
Portanto a primeira condição do Critério de Leibniz está satisfeita: a_n\to0.

Passo 4

Segunda verificação: mostrar que (a_n) é decrescente (pelo menos a partir de algum índice).
Uma maneira prática é considerar a função contínua
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+1},
definida para x\ge1, e estudar seu sinal da derivada para inferir monotonicidade dos a_n=f(n).
Usamos a regra do quociente para derivar f:
f'(x)=\frac{(2x)(x^{3}+1)-x^{2}(3x^{2})}{(x^{3}+1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(2x)(x^{3}+1)-x^{2}(3x^{2})=2x^{4}+2x-3x^{4}=-x^{4}+2x.
Logo
f'(x)=\frac{-x^{4}+2x}{(x^{3}+1)^{2}}=\frac{x(-x^{3}+2)}{(x^{3}+1)^{2}}.
Analisando o sinal: o denominador (x^{3}+1)^{2} é sempre positivo para x\ge1. O fator extra x no numerador é positivo para x\ge1. Assim o sinal de f'(x) é o mesmo de -x^{3}+2.
Para x\ge2 temos -x^{3}+2\le -8+2=-6<0. Portanto f'(x)<0 para todo x\ge2. Isso mostra que f é decrescente em [2,\infty). Consequentemente, a sequência (a_n)=(f(n)) é decrescente para n\ge2.
Também podemos checar manualmente o caso inicial n=1 para garantir decrescimento desde o começo:
a_1=\frac{1^{2}}{1^{3}+1}=\frac{1}{2}=0{,}5, \qquad a_2=\frac{2^{2}}{2^{3}+1}=\frac{4}{9}\approx0{,}444\ldots
Como a_2<a_1 e a sequência é decrescente para n\ge2, concluímos que (a_n) é decrescente para todo n\ge1. Portanto a segunda condição do Critério de Leibniz também vale.

Passo 5

Aplicando o Critério de Leibniz com as duas condições verificadas ( a_n\ge0, a_n\searrow e a_n\to0 ), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot\frac{n^{2}}{n^{3}+1}
converge.
Agora verificamos se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Consideremos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}.
Para estudar essa série, comparemos a_n com a sequência 1/n. Observe que
\frac{a_n}{1/n}=\frac{n^{2}/(n^{3}+1)}{1/n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge e o limite acima é um número finito e não nulo, pelo critério da comparação limite (limit comparison test) segue que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n também diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Passo 6

Comentário prático útil para prova: pelo Critério de Leibniz, o resto após truncar a série nas N primeiras parcelas tem módulo limitado por a_{N+1}. Em notação:
\left|\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n\right|\le a_{N+1}.
Isto é útil se te pedirem estimar o erro ao aproximar a soma por uma soma parcial.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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