Mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} converge.
Mostrar que a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge.
Concluir, a partir dos itens anteriores, que a convergência é condicional.
Passo 2
Mostro primeiro duas propriedades do termo positivo
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.
a) Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0.
Explicação: conforme n\to\infty temos \sqrt{n}\to\infty, e o recíproco de algo que tende a infinito tende a zero. Mais formalmente, dado \varepsilon>0, escolha N>\varepsilon^{-2}. Para n\ge N temos
b) Monotonicidade: a sequência \left(b_n\right)_{n\ge1} é decrescente, isto é, b_{n+1}<b_n para todo n.
Explicação: \sqrt{n+1}>\sqrt{n} para todo n, então
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}.
Alternativamente, considere a função f(x)=x^{-1/2} para x\ge1; sua derivada é f'(x)=-(1/2)x^{-3/2}<0, então f é decrescente e, em particular, b_n=f(n) é decrescente.
Passo 3
Apresento o teste que usarei (e dou uma pequena explicação didática).
Teorema (Teste das séries alternadas / de Leibniz): seja \{a_n\} uma sequência com a_n\ge0 para todo n. Se
a_{n+1}\le a_n para todo n (ou seja, \{a_n\} é decrescente), e
\lim_{n\to\infty}a_n=0,
então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n
converge.
Breve justificativa intuitiva: escrevendo as somas parciais
observa-se que as somas com número par de termos formam uma sequência monótona (crescem) e as somas com número ímpar formam outra sequência monótona (decrescem), e ambas são limitadas e “encavaladas” uma na outra. Como a diferença entre uma soma par e a ímpar seguinte é a_{2m+1}\to0, essas duas sequências têm o mesmo limite — portanto as somas parciais totais convergem a um limite comum. Esse é o coração do argumento de Leibniz.
Passo 4
Aplicação do teste de Leibniz ao nosso caso.
Tomamos a_n=b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Pelos resultados do Passo 2 temos:
a_n\ge0 para todo n.
a_{n+1}\le a_n (sequência decrescente).
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}
converge. (Aqui terminei a prova da convergência alternada.)
Passo 5
Mostro que a série não converge absolutamente, isto é, que
Vou usar o teste integral / p-série para explicar por que diverge.
Fato conhecido (p-série / teste integral): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{1}{2}<1, portanto a série diverge. Para ficar explícito, aplico o teste integral: considere a função contínua, positiva e decrescente f(x)=x^{-1/2} para x\ge1. Então
Pelo teste integral, como a integral imprópria diverge, a série \sum_{n=1}^{\infty}n^{-1/2} também diverge.
Portanto a série dos valores absolutos diverge, isto é, a série não é absolutamente convergente.
Passo 6
Conclusão final: juntando os resultados dos passos anteriores, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (pois \sum 1/\sqrt{n} diverge). Logo a convergência é condicional.
Força aí — essa é uma série clássica: alternada dá certo, mas a soma dos módulos explode porque 1/\sqrt{n} decai devagar demais (pensa que precisa decair como 1/n^{1+\epsilon} para garantir convergência absoluta).