Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
- Os termos têm sinal alternado por causa do fator
. - Definimos
. Note que os aparecem com sinal alternado na série. - Precisamos decidir convergência (absoluta ou condicional) da série.
Passo 2
Apresento o Critério de Leibniz (alternating series test) de forma didática:
- Considere uma série alternada
com . - Se duas condições são satisfeitas:
-
é monotonicamente decrescente a partir de algum (ou seja, para todo ), -
,
então a série converge.
Explicação rápida do porquê (intuição): os termos alternam e vão ficando cada vez menores até zero; as somas parciais “oscilam” em torno de um valor limite e essa oscilação diminui.
-
Passo 3
Verifico que
é não-negativo:
- Para todo
temos . - Em
a função é positiva. - Logo,
para todo . Portanto .
Passo 4
Mostro que
é decrescente:
- Para
vale . - A função
é estritamente crescente em porque sua derivada é positiva ali. - Como
, temos - Portanto
para todo , ou seja, é monotonicamente decrescente desde o início.
Passo 5
Mostro que
:
- Como
quando e é contínua em , segue que - Para uma justificativa alternativa e muito usada em provas sem apelar só à continuidade, use a desigualdade
. Assim e como então .
Passo 6
Aplicando o Critério de Leibniz:
- Já verificamos que
, que é decrescente e que . - Logo, pela regra de Leibniz, a série
converge.
Passo 7
Verifico se a convergência é absoluta ou condicional (importante para a resposta completa):
- Considere a série de termos absolutos
(já que os são positivos). - Use o limite
- Pelo critério da comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica
, que diverge, segue que também diverge. - Portanto a série não converge absolutamente; a convergência obtida em Passo 6 é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.