Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
  • Os termos têm sinal alternado por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • Definimos b_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right). Note que os b_n aparecem com sinal alternado na série.
  • Precisamos decidir convergência (absoluta ou condicional) da série.

Passo 2

Apresento o Critério de Leibniz (alternating series test) de forma didática:
  • Considere uma série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} b_n com b_n\ge 0.
  • Se duas condições são satisfeitas:
    1. b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N (ou seja, b_{n+1}\le b_n para todo n\ge N),
    2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
      então a série converge.
      Explicação rápida do porquê (intuição): os termos alternam e vão ficando cada vez menores até zero; as somas parciais “oscilam” em torno de um valor limite e essa oscilação diminui.

Passo 3

Verifico que b_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) é não-negativo:
  • Para todo n\ge 1 temos \frac{1}{n}\in(0,1].
  • Em (0,1]\subset(0,\tfrac{\pi}{2}) a função \sin x é positiva.
  • Logo, \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)>0 para todo n. Portanto b_n\ge 0.

Passo 4

Mostro que b_n é decrescente:
  • Para n\ge1 vale \frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}.
  • A função \sin x é estritamente crescente em (0,\tfrac{\pi}{2}) porque sua derivada \cos x é positiva ali.
  • Como \frac{1}{n},\frac{1}{n+1}\in(0,1]\subset(0,\tfrac{\pi}{2}), temos \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)>\sin\!\left(\frac{1}{n+1}\right).
  • Portanto b_{n+1}<b_n para todo n, ou seja, (b_n) é monotonicamente decrescente desde o início.

Passo 5

Mostro que \lim_{n\to\infty} b_n = 0:
  • Como \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty e \sin x é contínua em 0, segue que \lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\sin(0)=0.
  • Para uma justificativa alternativa e muito usada em provas sem apelar só à continuidade, use a desigualdade |\sin x|\le |x|. Assim 0\le \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}e como \frac{1}{n}\to 0 então \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\to 0.

Passo 6

Aplicando o Critério de Leibniz:
  • Já verificamos que b_n\ge0, que b_n é decrescente e que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
  • Logo, pela regra de Leibniz, a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)converge.

Passo 7

Verifico se a convergência é absoluta ou condicional (importante para a resposta completa):
  • Considere a série de termos absolutos \sum_{n=1}^{\infty}\left|\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) (já que os b_n são positivos).
  • Use o limite \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • Pelo critério da comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica \sum \frac{1}{n}, que diverge, segue que \sum \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) também diverge.
  • Portanto a série não converge absolutamente; a convergência obtida em Passo 6 é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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