(Questão 173) Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando anualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão de 1 kg , alimentado com essa ração durante um período de três meses. O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou coma nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de
para a distribuição das massas dos coelhos dessa amostra. Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por
, em que
representa o desvio padrão e
, a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração. O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual. A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilogramas, for superior a:
a) 5,0 .
b) 9,5 .
c) 10 .
d) 10,5 .
e) 15,0 .
a) 5,0 .
b) 9,5 .
c) 10 .
d) 10,5 .
e) 15,0 .
Passo 1
O enunciado pergunta qual o valor da média das massas dos coelhos alimentados com a nova ração (em kg) acima do qual o zootecnista substituirá a ração atual pela nova. Informações dadas:
- A ração atual tem média das massas
kg e desvio padrão kg. - Para a amostra com a nova ração, o desvio padrão observado é
kg e a média amostral é (valor desconhecido). - O critério de decisão do zootecnista: substituir a ração se o coeficiente de variação (CV) da nova ração for menor do que o CV da ração atual.
- A definição do coeficiente de variação é
, onde é o desvio padrão e a média.
Passo 2
Explicação didática sobre coeficiente de variação (CV):
- O CV mede a dispersão relativa: é o desvio padrão dividido pela média. Assim, compara o espalhamento dos dados em relação ao tamanho típico (a média).
- Interpretando: um CV menor significa que, proporcionalmente à média, as massas são mais homogêneas (menos variação relativa).
- No nosso caso com a ração atual temos:
- Para a nova ração, com desvio padrão conhecido
e média , o CV é
- O zootecnista exige
(strictamente menor).
Passo 3
Formule a desigualdade que traduz o critério:
Passo 4
Resolva a desigualdade passo a passo (álgebra simples):
- Começo escrevendo a desigualdade já dada:
- Multiplico ambos os lados por
. Como representa uma média de massas, é positivo, então a direção da desigualdade não muda:
- Multiplico ambos os lados por
(positivo), ficando:
Ou seja,
Passo 5
Interpretação final do resultado:
- Para que o coeficiente de variação da nova ração seja estritamente menor que o da ração atual, a média das massas com a nova ração precisa ser maior do que
kg. - Observação prática: se
kg então os CVs seriam iguais e a ração não seria substituída (pois o enunciado exige CV menor).
Resposta
e)