(Questão 173) Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando anualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão de 1 kg , alimentado com essa ração durante um período de três meses. O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou coma nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de 1,5 \mathrm{~kg} para a distribuição das massas dos coelhos dessa amostra. Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por C V=\frac{s}{\bar{x}}, em que s representa o desvio padrão e \bar{x}, a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração. O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual. A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilogramas, for superior a:
a) 5,0 .
b) 9,5 .
c) 10 .
d) 10,5 .
e) 15,0 .

Passo 1

O enunciado pergunta qual o valor da média das massas dos coelhos alimentados com a nova ração (em kg) acima do qual o zootecnista substituirá a ração atual pela nova. Informações dadas:
  • A ração atual tem média das massas 10 kg e desvio padrão 1 kg.
  • Para a amostra com a nova ração, o desvio padrão observado é 1,5 kg e a média amostral é \bar{x} (valor desconhecido).
  • O critério de decisão do zootecnista: substituir a ração se o coeficiente de variação (CV) da nova ração for menor do que o CV da ração atual.
  • A definição do coeficiente de variação é C V=\dfrac{s}{\bar{x}}, onde s é o desvio padrão e \bar{x} a média.

Passo 2

Explicação didática sobre coeficiente de variação (CV):
  • O CV mede a dispersão relativa: é o desvio padrão dividido pela média. Assim, compara o espalhamento dos dados em relação ao tamanho típico (a média).
  • Interpretando: um CV menor significa que, proporcionalmente à média, as massas são mais homogêneas (menos variação relativa).
  • No nosso caso com a ração atual temos:
C V_{\text{atual}}=\frac{1}{10}.
  • Para a nova ração, com desvio padrão conhecido s_{\text{novo}}=1,5 e média \bar{x}, o CV é
C V_{\text{novo}}=\frac{1,5}{\bar{x}}.
  • O zootecnista exige C V_{\text{novo}}<C V_{\text{atual}} (strictamente menor).

Passo 3

Formule a desigualdade que traduz o critério:
\frac{1,5}{\bar{x}}<\frac{1}{10}.

Passo 4

Resolva a desigualdade passo a passo (álgebra simples):
  1. Começo escrevendo a desigualdade já dada:
\frac{1,5}{\bar{x}}<\frac{1}{10}.
  1. Multiplico ambos os lados por \bar{x}. Como \bar{x} representa uma média de massas, é positivo, então a direção da desigualdade não muda:
1,5<\frac{\bar{x}}{10}.
  1. Multiplico ambos os lados por 10 (positivo), ficando:
15<\bar{x}.
Ou seja,
\bar{x}>15.

Passo 5

Interpretação final do resultado:
  • Para que o coeficiente de variação da nova ração seja estritamente menor que o da ração atual, a média das massas com a nova ração precisa ser maior do que 15 kg.
  • Observação prática: se \bar{x}=15 kg então os CVs seriam iguais e a ração não seria substituída (pois o enunciado exige CV menor).

Resposta

e) 15,0

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