Questão 18. Considere as matrizes abaixo
A=[rrrr 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 ], B=[rrrr 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4 ], C=[rr 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 1 ], D=[l 0 1 2 0 ] e E=[l 4 6 8 10 ]
Classifique os sistemas abaixo e obtenha as soluções, se for o caso:
a) A X=D

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
A X = D
onde A é uma matriz 4times4 e D um vetor coluna em R^4.
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares por eliminação de Gauss: vamos montar a matriz aumentada l[Amid Dr], aplicar operações elementares para triangularizar e, em seguida, usar substituição regressiva para encontrar ;X.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e, para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivot de valor 1) e, em seguida, eliminamos os coeficientes abaixo desse pivô na coluna 1:
[rrrr|r 2 & 3 & 4 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 1 & 0 ] ;longrightarrow; [rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 1 & 0 ]
Eliminando embaixo de ;(1,1):
R2 R2-2R1, R4 R4-3R1 ;Longrightarrow; [rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 & -2 0 & -1 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ]

Passo 3

Usamos o pivô ;1 em posição (2,2) para zerar abaixo na coluna 2:
R3 R3+R2, R4 R4-R2 ;Longrightarrow; [rrrr|r 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & -1 ]

Passo 4

Agora temos pivôs nas colunas 3 e 4. Basta eliminar acima para chegar à forma diagonal e ler as variáveis:
&Usando (4,4):;R1 R1+R4,;R2 R2-R4 &Usando (3,3):;R1 R1-R3,;R2 R2-2R3 &E por fim zero na coluna 2 de R1:;R1 R1-R2 ;Longrightarrow; [rrrr|r 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 ]

Passo 5

Da forma diagonal lemos diretamente:
x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, x4 = -1
Como obtivemos quatro pivôs não nulos, o sistema é determinado e tem solução única.

Resposta

X = 1 -1 0 -1

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