(2.5) Resolva os ítens abaixo:
(a) Considere as retas r:rx=3 t-4 y=-2 t+1 z=-t e s: x-32=y-1=z+3-1. Determine as coordenadas do ponto P de intersecção entre r e s
(b) Escreva a equação geral do plano pi que é paralelo aos vetores diretores de r e s.

Passo 1

O enunciado pede em (a) o ponto de interseção
e a reta
Em (b) pede a equação geral do plano e . Para isso vamos parametrizar , igualar coordenadas para achar , depois obter dois vetores diretores, fazer o produto vetorial para achar a normal ao plano e, por fim, usar a forma ponto–normal.

Passo 2

Parametrizamos s definindo
u = x-32 = y-1 = z+3-1
Assim
x=2u+3, y=u+1, z=-u-3

Passo 3

Para achar a interseção igualamos as coordenadas de r(t) e s(u):
3t-4 = 2u+3, -2t+1 = u+1, -t = -u-3
Da segunda equação segue u=-2t. Substituindo na terceira:
-t = -(-2t)-3 implies -t = 2t-3 implies t=1,
logo u=-2. Verificando na primeira: 3cdot1-4=-1 e 2cdot(-2)+3=-1, OK.

Passo 4

Substituindo t=1 em r(t) obtemos
P = r(1)=l(3cdot1-4,,-2cdot1+1,,-1r)=(-1,-1,-1)

Passo 5

Os vetores diretores são
vr=(3,-2,-1), vs=(2,1,-1)
A normal ao plano é
n = vr times vs = i & j & k 3 & -2 & -1 2 & 1 & -1 =(3,1,7)

Passo 6

A equação ponto–normal do plano pi que passa por P=(-1,-1,-1) é
ncdotl((x,y,z)-(-1,-1,-1)r)=0
ou seja
3(x+1)+1(y+1)+7(z+1)=0
que simplifica para
3x + y + 7z + 11 = 0

Resposta

(a) P=(-1,-1,-1)
(b) 3x + y + 7z + 11 = 0

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