Questão 18. Considere as matrizes abaixo
A=[rrrr 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 ], B=[rrrr 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4 ], C=[rr 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 1 ], D=[l 0 1 2 0 ] e E=[l 4 6 8 10 ]
Classifique os sistemas abaixo e obtenha as soluções, se for o caso:
b) A X=E

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A X = E
em que
A= 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 , E=46810,
procurando classificar o sistema (compatível determinado, indeterminado ou impossível) e, se houver solução, obtê-la. O conteúdo a aplicar envolve determinante para checar invertibilidade e eliminação de Gauss (ou substituição) para encontrar X.

Passo 2

Vamos calcular det(A) por operações elementares que não mudam (ou mudam de forma controlada) o determinante. Primeiro, trocamos a 1.ª e a 2.ª linha (isso inverte o sinal do determinante):
1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1
Depois, eliminamos abaixo do pivô da 1.ª coluna:
R2 R2-2R1, R4 R4-3R1 ;Longrightarrow; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & -2
O determinante de A vale
det(A) = -1 times det 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 1 & 2 & -2
Calculando o menor de ordem 3:
det 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 1 & 2 & -2 =1l((-1)(-2)-1cdot2r)-2l((-1)(-2)-1cdot1r)+(-1)l((-1)cdot2-(-1)cdot1r) =-1
Logo det(A)=-1times(-1)=1.

Passo 3

Como det(A)=1neq0, a matriz A é invertível. O sistema é compatível determinado e possui exatamente uma solução.

Passo 4

Para achar
extraímos de que, pela comparação entre as fórmulas, leva a
Finalmente,

Resposta

O sistema A X=E é compatível determinado e sua única solução é
X = 14-800

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