Questão 18. Considere as matrizes abaixo
A=[rrrr 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1 ], B=[rrrr 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 2 & -2 1 & 4 & 1 & -4 ], C=[rr 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 1 ], D=[l 0 1 2 0 ] e E=[l 4 6 8 10 ]
Calcule cada determinante abaixo
f) det A^-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular det(A^-1), onde
A = 2 & 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 1 3 & 4 & 5 & 1
O conteúdo envolvido é determinante de matriz e a relação entre det A e det(A^-1).

Passo 2

Usamos a propriedade básica de determinantes
det(A^-1) = l(det Ar)^-1
Portanto, só precisamos calcular det A.

Passo 3

Vamos expandir det A pela primeira coluna. Chamando Ci1 o cofator de ai1,
det A = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41 = 2det(M11) - 1det(M21) + 0det(M31) - 3det(M41),
onde os menores são
M11= 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 1 4 & 5 & 1 , M21= 3 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 4 & 5 & 1 , M41= 3 & 4 & 1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 1

Passo 4

Calculamos cada determinante de 3times 3:
det(M11) =1cdot(-1cdot1-1cdot5)-1cdot(-1cdot1-1cdot4)+1cdot(-1cdot5-(-1)cdot4) =-6+5-1=-2,
det(M21) =3cdot(-1cdot1-1cdot5)-4cdot(-1cdot1-1cdot4)+1cdot(-1cdot5-(-1)cdot4) =-18+20-1=1,
det(M41) =3cdot(1cdot1-1cdot(-1))-4cdot(1cdot1-1cdot(-1))+1cdot(1cdot(-1)-1cdot(-1)) =3cdot2-4cdot2+0=-2
Substituindo em det A:
det A =2cdot(-2)-1cdot1-3cdot(-2) =-4-1+6=1

Passo 5

Finalmente,
det(A^-1) =1det A =11 =1

Resposta

1

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