Dizemos que uma matriz é ortogonal se, e somente se, . Determine:
(a) Os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais?
Passo 1
O enunciado diz que uma matriz é ortogonal se, e somente se,
Precisamos determinar
(a) os possíveis valores de e
(b) quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas () e ortogonais.
Passo 2
Para (a), aplicamos determinante em ambos os lados de
Como e , segue que
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Passo 3
Para (b), toda matriz real antissimétrica satisfaz
e tem forma geral
Passo 4
Impondo ortogonalidade,
A A^T = 0 & a -a & 0 0 & -a a & 0 = a^2 & 0 0 & a^2 stackrel!= I,
de onde a^2=1. Portanto a=pm1 e as únicas matrizes possíveis são