1. Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A A^T=I. Determine:
    (a) Os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
    (b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais?

Passo 1

O enunciado diz que uma matriz A é ortogonal se, e somente se,
A A^T = I
Precisamos determinar
(a) os possíveis valores de det(A) e
(b) quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas ( A^T=-A) e ortogonais.

Passo 2

Para (a), aplicamos determinante em ambos os lados de
A A^T = I
Como det(A A^T)=det(A)det(A^T) e det(A^T)=det(A), segue que
det(A)^2 = det(I) = 1
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det(A)=pm1

Passo 3

Para (b), toda matriz real 2times2 antissimétrica satisfaz
A^T=-A
e tem forma geral
A = 0 & a -a & 0, ainR

Passo 4

Impondo ortogonalidade,
A A^T = 0 & a -a & 0 0 & -a a & 0 = a^2 & 0 0 & a^2 stackrel!= I,
de onde a^2=1. Portanto a=pm1 e as únicas matrizes possíveis são
0 & 1 -1 & 0 e 0 & -1 1 & 0

Resposta

(a) det(A)=pm1.
(b) As matrizes
0 & 1 -1 & 0 e 0 & -1 1 & 0

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