Questão 18

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Encontre o Wronskiano do par de funções
\left\{\begin{array}{l}y_{1}(t)=e^{2 t} \\\ y_{2}(t)=e^{-3 t / 2}\end{array}\right.
Escolha uma opção:
\frac{-e^{2 t}}{3}
\frac{-3 e^{t}}{2}
Nenhuma das demais alternativas
\frac{-3 e^{t / 2}}{2}
\frac{-7 e^{t / 2}}{2}
e^{-4 t}
\square

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano do par de funções
y_{1}(t)=e^{2t},\qquad y_{2}(t)=e^{-3t/2}.
Lembrando que, para duas funções y_1 e y_2, o Wronskiano é definido por
W(y_1,y_2)(t) =\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\[6pt] y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix} = y_1(t)\,y_2'(t)-y_2(t)\,y_1'(t).]

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
y_1'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}, \quad y_2'(t)=\frac{d}{dt}e^{-3t/2}=-\tfrac{3}{2}e^{-3t/2}.
Substituindo no determinante,
W(y_1,y_2)(t) =e^{2t}\Bigl(-\tfrac{3}{2}e^{-3t/2}\Bigr) \;-\;e^{-3t/2}\bigl(2e^{2t}\bigr).

Passo 3

Fatoramos e^{2t}e^{-3t/2}=e^{(4t/2-3t/2)}=e^{t/2}:
W(y_1,y_2)(t) =\Bigl(-\tfrac{3}{2}-2\Bigr)e^{t/2} =\Bigl(-\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{2}\Bigr)e^{t/2} =-\tfrac{7}{2}e^{t/2}.

Resposta

\displaystyle -\tfrac{7}{2}e^{t/2}, ou seja, a opção \displaystyle \frac{-7e^{t/2}}{2}.

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