Questão 9

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Suponha que
\left\{\begin{array}{l}y_{1}(t)=e^{r_{1} t} \\\ y_{2}(t)=e^{r_{2} t}\end{array}\right.
sejam duas soluções de uma equação diferencial linear da forma:
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0
Sob qual das seguintes condições as soluções dadas formam um conjunto fundamental de soluções?
Escolha uma opção:
r_{1}=r_{2}
r_{1} \geq r_{2}
r_{1} \neq r_{2}
r_{1}<r_{2}
Nenhuma das demais alternativas
r_{1}>r_{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0
e diz que
y_{1}(t)=e^{r_{1}t},\quad y_{2}(t)=e^{r_{2}t}
são duas soluções. Queremos saber sob que condição essas funções formam um conjunto fundamental, ou seja, são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar se duas soluções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, usamos o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(t) =\begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[6pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix}.
Se W\neq0 para algum t, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 3

Calculamos as derivadas:
y_{1}'(t)=r_{1}e^{r_{1}t},\quad y_{2}'(t)=r_{2}e^{r_{2}t}.
Logo, o Wronskiano é
W(t) =\begin{vmatrix} e^{r_{1}t} & e^{r_{2}t}\\[4pt] r_{1}e^{r_{1}t} & r_{2}e^{r_{2}t} \end{vmatrix} =e^{r_{1}t}\,r_{2}e^{r_{2}t}-e^{r_{2}t}\,r_{1}e^{r_{1}t} =(r_{2}-r_{1})\,e^{(r_{1}+r_{2})t}.]

Passo 4

O fator e^{(r_{1}+r_{2})t} nunca é zero. Portanto
W(t)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad r_{2}-r_{1}\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad r_{1}\neq r_{2}.
Assim, as soluções são linearmente independentes exatamente quando r_{1}\neq r_{2}.

Resposta

r_{1}\neq r_{2}

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