Questão 5

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Encontre o Wronskiano do par de funções
\left\{\begin{array}{l}y_{1}(t)=e^{-2 t} \\\ y_{2}(t)=t e^{-2 t}\end{array}\right.
Escolha uma opção:
t e^{t}
Nenhuma das demais alternativas
e^{-4 t} \checkmark
-e^{2 t}
\frac{e^{t / 2}}{2}
0
\square

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções \displaystyle y_{1}(t)=e^{-2t} e \displaystyle y_{2}(t)=t\,e^{-2t}.
O Wronskiano W(t) de duas funções é dado por
W(t) = \begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[6pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix} = y_{1}(t)\,y_{2}'(t) - y_{2}(t)\,y_{1}'(t).
Para resolver, vamos primeiro obter as derivadas de y_{1} e y_{2}.]

Passo 2

Calculamos as derivadas:
y_{1}(t) = e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad y_{1}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr) = -2\,e^{-2t},
y_{2}(t) = t\,e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad y_{2}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{-2t}\bigr) = 1\cdot e^{-2t} + t\cdot(-2)\,e^{-2t} = e^{-2t} - 2t\,e^{-2t}.

Passo 3

Agora montamos o determinante do Wronskiano:
W(t) = y_{1}(t)\,y_{2}'(t) - y_{2}(t)\,y_{1}'(t).
Substituindo,
W(t) = e^{-2t}\,\bigl(e^{-2t} - 2t\,e^{-2t}\bigr) \;-\; \bigl(t\,e^{-2t}\bigr)\,(-2\,e^{-2t}).

Passo 4

Simplificamos cada termo:
e^{-2t}\,\bigl(e^{-2t} - 2t\,e^{-2t}\bigr) = e^{-4t} - 2t\,e^{-4t},
\bigl(t\,e^{-2t}\bigr)\,(-2\,e^{-2t}) = -2t\,e^{-4t}.
Logo,
W(t) = \bigl(e^{-4t} - 2t\,e^{-4t}\bigr) - \bigl(-2t\,e^{-4t}\bigr) = e^{-4t} - 2t\,e^{-4t} + 2t\,e^{-4t} = e^{-4t}.

Resposta

\displaystyle e^{-4t}

Exercícios relacionados