Questão 18. Dados os vetores u=i-j-k, v=i-3 j+2 k e w=i+j+2 k :
Encontre [3 u, v, w]

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u=i-j-k, v=i-3j+2k, w=i+j+2k,
e pede o produto misto [3u,,v,,w]. O conteúdo é o cálculo do determinante que define o produto misto de três vetores.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor 3u. Como u=i-j-k, temos
3u=3l(i-j-kr)=3i-3j-3k

Passo 3

O produto misto [3u,,v,,w] é o determinante da matriz cujas colunas são as componentes de 3u, v e w. Assim,
[3u,,v,,w] = 3 & -3 & -3 1 & -3 & 2 1 & 1 & 2

Passo 4

Vamos desenvolver esse determinante pela primeira linha:
3 & -3 & -3 1 & -3 & 2 1 & 1 & 2 &=3-3 & 21 & 2 -(-3)1 & 21 & 2 +(-3)1 & -31 & 1[6pt] &=3l((-3)cdot2 - 2cdot1r) +3l(1cdot2 - 2cdot1r) -3l(1cdot1 - (-3)cdot1r)[4pt] &=3(-6-2)+3(2-2)-3(1+3) &=3(-8)+3cdot0-3cdot4 &=-24 + 0 -12 &=-36 ]

Resposta

-36

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