Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.
$V=P_{3}(\mathbb{R}), S_{3}=\left{t^{3}-4 t^{2}+2 t+3, t^{3}+2 t^{2}+4 t-1,2 t{3}-t{2}-3 t+5\right}).

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial ,V=P3(R) (polinômios de grau até 3) e do subconjunto
S3=,p1(t)=t^3-4t^2+2t+3,;p2(t)=t^3+2t^2+4t-1,;p3(t)=2t^3-t^2-3t+5
O objetivo é verificar se esses três polinômios são linearmente independentes ou não, usando a definição: p1,p2,p3 são L.I. se a única solução da combinação
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)equiv 0
(for all t) é a=b=c=0.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula:
a,(t^3-4t^2+2t+3)+b,(t^3+2t^2+4t-1)+c,(2t^3-t^2-3t+5)equiv 0
Agrupando coeficientes de t^3,t^2,t,1, obtemos o sistema homogêneo
a + b + 2c = 0,[6pt] -4a + 2b - c = 0,[6pt] 2a + 4b - 3c = 0,[6pt] 3a - b + 5c = 0
]

Passo 3

Resolvendo por eliminação, da primeira equação vem
a = -,b ;-;2c
Substituindo em -4a+2b-c=0
-4(-b-2c)+2b-c=0 ;Longrightarrow;6b+7c=0 ;Longrightarrow;b=-tfrac76,c,
logo
a=-l(-tfrac76cr)-2c =tfrac76c-tfrac126c =-tfrac56c
Agora a terceira equação 2a+4b-3c=0 fica
2l(-tfrac56cr)+4l(-tfrac76cr)-3c =-tfrac106c-tfrac286c-3c =-tfrac386c-3c =-tfrac386c-tfrac186c =-tfrac566c=0 ;Longrightarrow;c=0
Então c=0 implica b=0 e a=0. A quarta equação também fica satisfeita pelo trivial.

Passo 4

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que não há combinação não-trivial que anule os polinômios. Portanto S3 é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S3 é L.I. (linearmente independente).

Exercícios relacionados