Sejam a e b dois vetores de R^2 tais que b é o vetor oposto de a. Se b têm o mesmo sentido que o vector c=(-13, 14) e |a|=5, calcular o vector x=2 b+a.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores a e b em R^2 tais que b é o vetor oposto de a (logo b=-a), que b tem o mesmo sentido que
c = l(-tfrac13,,tfrac14r)
e que lvert arvert = 5. Queremos achar
x = 2,b + a.
O conteúdo envolve direção e sentido de vetores, norma e vetores unitários.

Passo 2

Como b tem o mesmo sentido de c, existe lambda>0 tal que
b = lambda,c
Como b é o oposto de a, temos
a = -,b = -,lambda,c

Passo 3

Usamos a condição lvert arvert = 5. Como a=-lambdac, vale
lvert arvert = lambda,lvert crvert = 5
Precisamos de lvert crvert:
lvert crvert = raizl(-tfrac13r)^2 + l(tfrac14r)^2 = raiztfrac19 + tfrac116 = raiztfrac25144 = tfrac512
Logo
lambda ,512 = 5 Longrightarrow lambda = 12

Passo 4

Com lambda=12 obtemos
b = 12,c = 12l(-tfrac13,,tfrac14r) = l(-4,,3r),
e então
a = -,b = (4,,-3)

Passo 5

Finalmente
x = 2,b + a = 2(-4,3) + (4,-3) = (-8,6) + (4,-3) = (-4,3)

Resposta

x=(-4,3)

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