Questão 18. Efetuando as operações indicadas na expressão
\left(\frac{2^{2007}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2004}}\right) \times 2006
obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?
a) F-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-V
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\left(\frac{2^{2007}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2004}}\right)\times 2006
e pede para efetuar as operações indicadas, obter o número resultante (diz que é um número de quatro algarismos) e então calcular a soma dos algarismos desse número. Informações relevantes: os expoentes grandes ( 2007,2006,2005,2004) e o fator multiplicador 2006.

Passo 2

Vamos simplificar a fração dentro dos parênteses usando uma técnica simples: fatorar a maior potência de 2 comum a cada soma. Lembra dessa regra de potências: \;2^{a+b}=2^a\cdot 2^b\; e, mais útil aqui, \;2^m = 2^n\cdot 2^{m-n}\; quando m\ge n. Ou seja, podemos escrever potências mais altas em função de uma potência menor multiplicada por um fator 2^{\text{diferença}}ç.
Aplicando isso ao numerador:
2^{2007}+2^{2005}=2^{2005}\cdot 2^{2}+2^{2005}=2^{2005}\left(2^{2}+1\right).
Expliquei: escrevi 2^{2007}=2^{2005}\cdot 2^{2} e coloquei 2^{2005} em evidência.

Passo 3

Agora o denominador, do mesmo jeito:
2^{2006}+2^{2004}=2^{2004}\cdot 2^{2}+2^{2004}=2^{2004}\left(2^{2}+1\right).
Expliquei: escrevi 2^{2006}=2^{2004}\cdot 2^{2} e coloquei 2^{2004} em evidência.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração temos:
\frac{2^{2007}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2004}} =\frac{2^{2005}\left(2^{2}+1\right)}{2^{2004}\left(2^{2}+1\right)}.
Agora observe que o termo \left(2^{2}+1\right) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então pode ser cancelado (desde que não seja zero, e aqui 2^{2}+1=5\neq0). Após cancelar esse fator comum obtemos:
\frac{2^{2005}}{2^{2004}}=2^{2005-2004}=2^1=2.
Expliquei: usei a propriedade \frac{2^a}{2^b}=2^{a-b}.

Passo 5

Voltando à expressão original, substituímos a fração simplificada por 2:
\left(\frac{2^{2007}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2004}}\right)\times 2006 = 2\times 2006.
Calculando 2\times 2006 (multiplicação simples):
2\times 2006 = 4012.
Então o número obtido é \,4012, que é de fato um número de quatro algarismos.

Passo 6

Agora somamos os algarismos de \,4012. Liste os algarismos: 4,\;0,\;1,\;2. A soma é
4+0+1+2=7.
Dica prática para prova: somar algarismos é só adicionar cada dígito; zeros não alteram a soma.

Resposta

7

Exercícios relacionados